Logische Maschine

Aufgabe und Grundprinzip

Logische Maschinen sind Geräte, die – ähnlich wie Rechenmaschinen – logische Aufgaben behandeln und lösen. Ihr Idealziel ist, Argumente auf ihre Gültigkeit zu untersuchen. Häufig leisten sie dies mittelbar: Sie bestimmen, welche Schlüsse aus gegebenen Prämissen, also vorausgesetzten Aussagen, gezogen werden können.

Zunächst wurden Maschinen gebaut, die Syllogismen prüfen. Ein Syllogismus ist hier ein Argument mit genau zwei Prämissen und einer Konklusion. Spätere Maschinen automatisierten vor allem Tätigkeiten der Aussagenlogik, etwa das Erstellen von Wahrheitstabellen oder das Bilden von Normalformen. Aussagenlogik behandelt Aussagen mit Wahrheitswerten; eine Wahrheitstabelle führt die Wahrheitswerte einer Formel für alle möglichen Zuordnungen ihrer Variablen auf.

Mechanische Maschinen und Begriffslogik

Die Idee wird oft Ramon Llull (ca. 1232–1316) zugeschrieben, der Ende des 13. Jahrhunderts rechenschieber- oder rechenscheibenartige Geräte zur Bildung von Begriffskombinationen vorschlug. Systematischer war Ende des 18. Jahrhunderts der Stanhope Demonstrator von Charles, dem dritten Earl Stanhope. Als erste mechanische Maschine gilt jedoch William Stanley Jevons’ 1869 konstruiertes „Logisches Piano“, dessen Name von seiner klaviaturähnlichen Tastatur stammt.

Frühe Maschinen arbeiteten meist mit Begriffslogik: Variablen stehen für Begriffe. Steht A für „Schwein“ und B für „rosa“, bedeutet „Alles A ist auch B“, dass alle Dinge, die unter A fallen, auch unter B fallen: „Alle Schweine sind rosa.“ Jevons bezeichnet die Verneinung eines Begriffs mit einem Kleinbuchstaben. a bedeutet daher „Nichtschwein“.

In Jevons’ Maschine können beliebig viele begriffslogische Prämissen eingegeben werden. Sie schließt mechanisch alle damit inkonsistenten Begriffskombinationen aus. Bei „Alle A sind B“ wird beispielsweise „Ab“ ausgeschlossen, also „Schwein und nichtrosa“. Angezeigt werden am Ende nur die mit allen Prämissen vereinbaren Kombinationen; die Anwenderin zieht daraus selbst die interessierenden Schlüsse. Interpretiert man Großbuchstaben als Aussagebuchstaben und Kleinbuchstaben als deren Verneinung, kann die Maschine auch für aussagenlogische Fragen dienen.

Allan Marquand entwickelte zwischen 1874 und 1881 eine mechanische Maschine und schlug 1885 eine elektrische Version von Jevons’ Maschine vor. Ob diese verwirklicht wurde, ist unbekannt oder fraglich. Ein im Nachlass gefundener Schaltplan wird unterschiedlich beurteilt: Weinhart verweist auf Charles Sanders Peirce als mögliche Anregung, Ketner hält Peirce sogar für den möglichen Entwerfer. Diese Vermutung ist bis heute weder bewiesen noch widerlegt.

Elektrische Aussagenlogik und Wahrheitstabellen

Die erste gesichert verwirklichte elektrische logische Maschine baute Benjamin Burack 1936. Sie war noch begriffslogisch und deckte nur die klassischen Syllogismen im Sinn von Aristoteles ab. Im 20. Jahrhundert, besonders ab den späten 1940er-Jahren mit der Verbreitung elektrischer und elektronischer Schaltungen, verlagerte sich der Schwerpunkt zur Aussagenlogik.

Ein frühes Gerät mit ausdrücklich aussagenlogischem Bezug war Charles P. R. Macaulays 1910 zur Patentierung eingereichte mechanische Maschine. Wie Jevons’ Gerät schloss sie für eingegebene Sätze unvereinbare Möglichkeiten aus und zeigte die verbleibenden an.

Ab 1947 entwarfen Theodore A. Kalin und William Burkhart eine elektrische Maschine zum automatischen Aufstellen von Wahrheitstabellen. Für eine Aussage mit bis zu zwölf Aussagenvariablen berechnet sie deren Wahrheitswert unter allen möglichen Wahrheitswertzuordnungen. Sie kann außerdem Belegungen finden, unter denen die komplexe Aussage erfüllt oder widerlegt ist. Die Suche erfolgt exhaustiv, also als „Brute Force“: Alle Zuordnungen werden durchlaufen, bis eine bestätigende oder widerlegende Zuordnung gefunden ist. Eine vollständige Wahrheitstabelle mit zwölf Variablen umfasst 2^{12} Bit = 4096 Bit und benötigte 38 Minuten beziehungsweise 2280 Sekunden.

Der 1951 bei Ferranti entstandene Feedback Logical Computor (sic!) unterschied sich grundlegend. Er sollte eine Wahrheitswertzuordnung finden, unter der eine Menge von Aussagen insgesamt wahr ist. Anders als die übrigen bekannten Maschinen probierte er nicht alle Zuordnungen in fester Reihenfolge aus, sondern suchte einen möglichst geschickten Weg durch die Menge möglicher Zuordnungen.

Eingabeformen, Grenzen und Ende

Viele aussagenlogische Maschinen verwendeten Peano-Russell-Notation, eine Infix-Schreibweise oder angepasste Varianten. Die Eingabe erfolgte zum Beispiel mit Drehschaltern bei Kalin und Burkhart oder mit Steckschnüren bei Johann Weipoltshammers „logistischer Relaisrechenmaschine“. Für maschinelle Problemlösung erwiesen sich andere Schreibweisen wie die polnische Notation als günstiger.

Der Burroughs Truth Function Evaluator von William Miehle (1956) und Friedrich Ludwig Bauers in München entworfener Stanislaus (1950–1951 entworfen, 1956 fertiggestellt) verwenden polnische Notation. Stanislaus besitzt eine Tastatur, Burroughs nutzt Steckschnüre. Burroughs verarbeitet bis zu zehn Variablen; Stanislaus nur fünf und Formeln mit höchstens elf Zeichen. Dafür prüft Stanislaus, ob eine Eingabe syntaktisch wohlgeformt ist, und weist sie sonst zurück. Beide berechnen Wahrheitswertzuordnungen in festgelegter Reihenfolge und können auf Wunsch beim Erreichen eines bestimmten Ergebnisses anhalten.

Die 1950er-Jahre waren Höhepunkt und Ende logischer Maschinen. Programmierbare Computer konnten ihre fest verdrahteten Aufgaben in Software übernehmen. Dies erklärt das Ende jedoch nicht vollständig, da Rechenmaschinen damals weiter verbreitet waren. Laut Artikel war der Bedarf für diese Art logischer Aufgaben offenbar klein; bei Aufgaben wie der Vereinfachung von Aussagen im Schaltungsdesign reichte die mit damaliger Technik erreichbare Leistungsfähigkeit der Maschinen zudem bei weitem nicht aus.