Logarithmisches Mittel

Begriff und Definition

Das logarithmische Mittel oder der logarithmische Mittelwert ist ein Mittelwert für positive reelle Zahlen, bei dessen Berechnung die Logarithmusfunktion verwendet wird. Für zwei verschiedene Zahlen x,y>0 ist es definiert durch

M_lm(x,y) = (y−x)/ln(y/x) = (y−x)/(ln y−ln x).

Damit auch der Fall x=y eingeschlossen ist, verwendet man die allgemeine Definition

M_lm(x,y) = lim_{(ξ,η)→(x,y)} (η−ξ)/(ln η−ln ξ).

Daraus folgt M_lm(x,x)=x. Das logarithmische Mittel ist unter anderem wichtig, weil es bei Mittelwertsätzen und Integralen natürlich auftritt und zur Mittelung treibender Gefälle in technischen Anwendungen dient.

Lage zwischen anderen Mittelwerten

Das logarithmische Mittel ist als Funktion seiner Argumente streng monoton wachsend. Für x,y>0 und x≠y liegt es streng zwischen dem geometrischen Mittel und dem arithmetischen Mittel:

√(x·y) < (y−x)/(ln y−ln x) < (x+y)/2.

Die rechte Ungleichung lässt sich für positive Zahlen a<b mithilfe des Integrals der Funktion 1/x zeigen. Aus

∫_a^b 1/x dx > 2/(a+b)

folgt zunächst

ln(b)−ln(a) > 2/(a+b)

und damit

(a+b)/2 > (b−a)/(ln(b)−ln(a)).

Für die linke Ungleichung wird das Integral durch passende Trapezflächen nach oben abgeschätzt. Daraus erhält man

ln(b)−ln(a) < (b−a)/√(ab)

und schließlich

√(ab) < (b−a)/(ln(b)−ln(a)).

Zusammenhang mit Mittelwertsatz und Integral

Der Mittelwertsatz der Differentialrechnung besagt: Ist f:[x,y]→ℝ differenzierbar, so gibt es ein ξ∈[x,y] mit

f′(ξ) = [f(x)−f(y)]/(x−y).

Für f(x)=ln x gilt f′(x)=1/x. Daher folgt

1/ξ = (ln x−ln y)/(x−y)

und somit

ξ = (x−y)/(ln x−ln y).

Dieses ξ ist genau der logarithmische Mittelwert von x und y.

Das logarithmische Mittel besitzt außerdem die Integraldarstellung

∫_0^1 x^(1−t)y^t dt = (y−x)/(ln y−ln x).

Dabei durchläuft der Ausdruck x^(1−t)y^t für t von 0 bis 1 Werte zwischen x und y. Durch Umformen zu x·(y/x)^t und anschließendes Integrieren ergibt sich unmittelbar die Formel des logarithmischen Mittels.

Technische Anwendungen

Der logarithmische Mittelwert wird in verschiedenen Wissenschaften und technischen Problemen eingesetzt. Er tritt besonders dann auf, wenn über treibende Gefälle gemittelt wird. Das geschieht beispielsweise bei der integralen Betrachtung von Wärme- oder Stofftransportprozessen. Typische Anwendungen sind die verfahrenstechnische Auslegung von Wärmetauschern und Trennkolonnen.

Verallgemeinerungen

Verallgemeinerungen auf mehr als zwei Variablen werden seltener verwendet und sind nicht einheitlich definiert.

Eine Verallgemeinerung nach der Idee des Mittelwertsatzes lautet

L_MV(x₀,…,xₙ) = ⁿ√[(-1)^(n+1)·n·ln[x₀,…,xₙ]] mit Wurzelexponent −n,

wobei ln[x₀,…,xₙ] die dividierten Differenzen des Logarithmus bezeichnet. Für n=2, also drei Variablen, ergibt sich

L_MV(x,y,z) = √{[(x−y)(y−z)(z−x)]/[2((y−z)ln x+(z−x)ln y+(x−y)ln z)]}.

Eine andere Verallgemeinerung geht von der Integraldarstellung aus:

L_I(x₀,…,xₙ) = ∫_S x₀^α₀·…·xₙ^αₙ dα,

wobei S aus allen Tupeln (α₀,…,αₙ) mit α₀+…+αₙ=1 und α₀,…,αₙ≥0 besteht. Dafür wird angegeben:

L_I(x₀,…,xₙ) = n!·exp[ln x₀,…,ln xₙ].

Für drei Variablen lautet der Spezialfall

L_I(x,y,z) = −2·{x(ln y−ln z)+y(ln z−ln x)+z(ln x−ln y)}/{(ln x−ln y)(ln y−ln z)(ln z−ln x)}.

Daneben verallgemeinert beispielsweise das Stolarsky-Mittel das logarithmische Mittel.