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Logarithmische Verteilung
Erwartungswert · Die logarithmische Verteilung hat einen Erwartungswert von. E ; Varianz · Die Varianz bestimmt sich zu. Var ; Charakteristische Funktion · Die …
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Überblick und Definition
Die logarithmische Verteilung ist eine univariate diskrete Wahrscheinlichkeitsverteilung der Stochastik. Sie stammt aus der Versicherungsmathematik und ist vor allem als Verteilung von Schadenshöhen interessant; zur Bestimmung von Schadensanzahlen wird sie dagegen kaum verwendet.
Eine diskrete Zufallsgröße X ∈ ℕ ∖ {0} ist logarithmisch verteilt mit dem Parameter p, der als Erfolgswahrscheinlichkeit bezeichnet wird, wenn für k ∈ ℕ ∖ {0} gilt:
P(X = k) = f(k) = −(p^k/k) · 1/ln(1−p).
Die Zufallsgröße kann somit nur die positiven ganzen Zahlen 1, 2, 3, … annehmen. Die Wahrscheinlichkeitsfunktion hängt vollständig vom Parameter p ab.
Erwartungswert und Streuung
Der Erwartungswert beschreibt den durchschnittlich zu erwartenden Wert der Zufallsgröße:
E(X) = −p/((1−p)ln(1−p)).
Die Varianz misst die Streuung der möglichen Werte um den Erwartungswert:
Var(X) = −p·(ln(1−p)+p)/((1−p)²ln²(1−p)).
Aus Erwartungswert und Varianz folgt der Variationskoeffizient. Er setzt die Streuung ins Verhältnis zur Größe des Erwartungswerts:
VarK(X) = √(−p/(ln(1−p)+p)).
Schiefe
Die Schiefe beschreibt die Asymmetrie einer Wahrscheinlichkeitsverteilung. Für die logarithmische Verteilung gilt:
v(X) = 1/√(p(−ln(1−p)−p)) · (ln²(1−p)/(−ln(1−p)−p) + p(−ln(1−p)−2p)).
Erzeugende und charakteristische Funktionen
Die charakteristische Funktion stellt die Verteilung mithilfe komplexer Exponentialfunktionen dar. Sie lautet:
φ_X(s) = ln(1−pe^(is))/ln(1−p).
Die wahrscheinlichkeitserzeugende Funktion, mit der sich unter anderem die Wahrscheinlichkeiten einer diskreten Verteilung zusammenfassen lassen, ist:
g_X(s) = ln(1−ps)/ln(1−p).
Die momenterzeugende Funktion, aus der sich Momente der Verteilung bestimmen lassen, hat die Form:
m_X(s) = ln(1−pe^s)/ln(1−p).
Rekursive Berechnung und verwandte Verteilungen
Die einzelnen Wahrscheinlichkeiten müssen nicht jeweils direkt aus der Wahrscheinlichkeitsfunktion berechnet werden. Stattdessen kann die rekursive Gleichung
f(k+1) = (kp/(k+1))f(k)
mit dem Startwert
f(1) = −p/ln(1−p)
verwendet werden. Ausgehend von f(1) lässt sich damit jede folgende Wahrscheinlichkeit schrittweise bestimmen. Dieses Verfahren kann zur effizienten Implementierung logarithmisch verteilter Zufallszahlen genutzt werden.
Wird die logarithmische Verteilung mit der zusammengesetzten Poisson-Verteilung kombiniert, entsteht die negative Binomialverteilung. Als Spezialfall ergibt sich daraus auch die geometrische Verteilung.