Linsenschleiferformel

Kernidee und Gültigkeit

Die Linsenschleiferformel, auch Linsenmachergleichung, beschreibt, wie die Brechkraft einer dünnen sphärischen Linse mit ihrer Form zusammenhängt. Die Form wird durch die Radien der Kugeln angegeben, aus denen die beiden Linsenoberflächen gedacht sind. Die Brechkraft D ist der Kehrwert der Brennweite f, also D = 1/f.

Neben den Oberflächenradien beeinflussen auch die Dicke d der Linse, der Brechungsindex n des Linsenmaterials und der Brechungsindex des umgebenden Mediums die Brechkraft. Der Brechungsindex beschreibt, wie stark ein Material Licht gegenüber einem anderen Medium bricht.

Die angegebenen Gleichungen gelten nur für paraxiale Strahlen, also für Lichtstrahlen nahe an der optischen Achse und mit kleinen Winkeln. Bei größeren Abständen oder Winkeln treten Abbildungsfehler auf. Dazu gehören sphärische Aberration, bei der die Fokuslage vom Ort der Einstrahlung auf der Linse abhängt, sowie Astigmatismus und Bildfeldwölbung, die winkelabhängige Effekte beschreiben. Außerdem ist der Brechungsindex realer Materialien wellenlängenabhängig; durch Dispersion kann deshalb auch chromatische Aberration entstehen, wodurch die Brennweite mit der Wellenlänge variiert.

Gleiches Medium auf beiden Seiten

Wenn sich auf Objektseite und Bildseite dasselbe Medium befindet, gilt n1 = n2 = n0. Dabei sind R1 und R2 die Kugelradien der beiden Linsenflächen. Die Vorzeichen der Radien hängen von der Lage der Kugelmittelpunkte ab: Bei einer konvex-konkaven Linse haben beide Radien gleiche Vorzeichen, wenn die Mittelpunkte auf derselben Seite der Linse liegen; bei bikonvexen oder bikonkaven Linsen haben sie unterschiedliche Vorzeichen. d ist die Linsendicke entlang der optischen Achse, n0 der Brechungsindex des äußeren Mediums, n der Brechungsindex des Linsenmaterials, f die Brennweite und D die Brechkraft.

Allgemein gilt für gleiche Medien außen: D = 1/f = ((n - n0)/n0) · (1/R1 - 1/R2 + ((n - n0)d)/(nR1R2)).

Ist das äußere Medium Luft, also n1 = n2 = n0 ≈ 1, vereinfacht sich dies näherungsweise zu: D = 1/f = (n - 1) · (1/R1 - 1/R2 + ((n - 1)d)/(nR1R2)).

Dünne Linse in Luft

Für dünne Linsen, deren Dicke d sehr viel kleiner ist als die Kugelradien R1 und R2, fällt der Dickenterm in der Näherung weg. Dann ergibt sich die eigentliche einfache Linsenschleiferformel:

D = 1/f = (n - 1) · (1/R1 - 1/R2).

Diese Formel zeigt besonders klar den Zusammenhang: Die Brechkraft hängt vom Material der Linse über n und von der Krümmung der beiden Oberflächen über 1/R1 und 1/R2 ab. Stärker gekrümmte Flächen, also kleinere Beträge der Radien, verändern die Brechkraft stärker.

Unterschiedliche Medien auf beiden Seiten

Wenn vor und nach der Linse unterschiedliche Medien liegen, entstehen zwei unterschiedliche Brennweiten und Brechkräfte: eine objektseitige und eine bildseitige. Solche Situationen sind seltener, kommen aber zum Beispiel bei Kontaktlinsen, im menschlichen Auge, bei Unterwasserkameras oder bei Koppeloptiken für Lichtwellenleiter vor.

Man unterscheidet dann objektseitige Größen n1, f1, D1 und bildseitige Größen n2, f2, D2. Für die Objektseite lautet die Formel: D1 = 1/f1 = (n - n2)/(n1R2) - (n - n1)/(n1R1) - ((n - n1)(n - n2))/(n1n) · d/(R1R2).

Zwischen objektseitiger und bildseitiger Brennweite gilt: f2 = -(n2/n1) f1.

Daraus ergibt sich für die Bildseite: D2 = 1/f2 = (n - n1)/(n2R1) - (n - n2)/(n2R2) + ((n - n1)(n - n2))/(n2n) · d/(R1R2).

Welche Brennweite zählt

Bei einer Abbildung von der Objektseite zur Bildseite ist die bildseitige Brennweite relevant. Für die umgekehrte Richtung ist die objektseitige Brennweite relevant. Wenn beide Umgebungsmedien gleich sind, also n0 := n1 = n2, führt der Fall mit unterschiedlichen Medien wieder auf die Formeln für gleiches Umgebungsmedium zurück.

In einigen Fachgebieten, etwa Augenoptik und Optometrie, wird Brechkraft anders definiert: D1n = n1/f1 und D2n = n2/f2. Diese Definition folgt aus der Umrechnung zwischen f1 und f2. Dadurch sind die beiden Brechkräfte betragsmäßig gleich und unterscheiden sich nur im Vorzeichen. Dafür werden die genannten Formeln jeweils mit dem Brechungsindex der entsprechenden Seite skaliert.