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Linealgeometrie
Von Steiner und Jean Victor Poncelet stammt der Satz, dass Konstruktionen mit Zirkel und Lineal auch mit Lineal und einem vorgegebenen Kreis ausgeführt werden …
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Grundidee der Linealgeometrie
Linealgeometrie ist eine Einschränkung von Konstruktionsaufgaben der euklidischen Geometrie: Es darf nur ein Lineal ohne Skaleneinteilung benutzt werden. Zirkel, Winkelmesser und andere Zeichengeräte sind nicht erlaubt. Daher können nur Geraden durch bekannte Punkte gezogen und Schnittpunkte solcher Geraden bestimmt werden.
Teilweise ist zusätzlich ein einzelner vorgegebener Kreis erlaubt. Danach muss aber ebenfalls ausschließlich mit dem Lineal weiterkonstruiert werden. Nach dem Satz von Steiner und Jean Victor Poncelet lassen sich Konstruktionen mit Zirkel und Lineal auch mit einem Lineal und einem vorgegebenen Kreis ausführen.
Tangenten von einem Punkt an einen Kreis
Gegeben sind ein Punkt A und ein Kreis, dessen Mittelpunkt nicht bekannt ist. Gesucht sind die beiden Tangenten von A an den Kreis.
Man zeichnet durch A zwei Sekanten, also Geraden, die den Kreis jeweils in zwei Punkten schneiden. Dadurch entstehen die Punkte P₁ bis P₄. Danach verbindet man P₁ mit P₄ und P₂ mit P₃. Außerdem zeichnet man die Halbgeraden ab P₃ durch P₁ und ab P₄ durch P₂; sie liefern die Schnittpunkte X beziehungsweise P. Die Gerade durch P und X schneidet den Kreis in den Tangentialpunkten T₁ und T₂. Die Geraden von A zu diesen Punkten sind die gesuchten Tangenten.
Parallele mit gegebenem Halbierungspunkt
Mit dem Lineal allein kann keine Parallele zu einer gegebenen Geraden konstruiert werden. Möglich wird dies, wenn auf der Geraden eine Strecke FG und ihr Halbierungspunkt D vorgegeben sind. Gesucht ist eine Parallele durch einen Punkt H.
Man zeichnet die Halbgerade von G durch H und wählt darauf beliebig einen Punkt A. Dann verbindet man F mit H, F mit A und D mit A. Die Geraden FH und DA schneiden sich in C. Die Gerade GC schneidet die Strecke FA in J. Die Gerade HJ ist die gesuchte Parallele zu FG.
Halbierung einer Strecke mit gegebener Parallele
Eine Strecke kann nicht allein mit dem Lineal halbiert werden. Ist aber zu der Strecke FG eine Parallele vorgegeben, lässt sich ihr Halbierungspunkt konstruieren.
Man wählt einen beliebigen Punkt A und verbindet ihn mit G und F. Diese Verbindungen schneiden die vorgegebene Parallele in H beziehungsweise J. Anschließend zeichnet man FH und GJ; ihr Schnittpunkt heißt C. Die Gerade AC schneidet die Strecke FG im Punkt D. D ist der Halbierungspunkt von FG.
