Monotonie (Logik)

Begriff und formale Bedingungen

Monotonie ist eine Eigenschaft von Ableitbarkeitsrelationen und Inferenzoperationen. Sie besagt: Wird eine Menge von Prämissen, also Annahmen, erweitert, bleiben alle bisherigen Folgerungen erhalten.

Für eine Ableitbarkeitsrelation \vdash und Formelmengen \Gamma, \Delta gilt Monotonie genau dann, wenn:

Wenn \Gamma \vdash \mathrm{A}, dann \Gamma \cup \Delta \vdash \mathrm{A}.

Das bedeutet: Wenn die Aussage A aus den Annahmen in Γ ableitbar ist, bleibt A auch nach der Hinzunahme aller Annahmen aus Δ ableitbar.

Für eine Inferenzoperation Cn, die einer Prämissenmenge ihre Folgerungen zuordnet, gilt Monotonie genau dann, wenn:

Wenn \Gamma \subseteq \Delta, dann Cn(\Gamma) \subseteq Cn(\Delta).

Enthält Δ also sämtliche Annahmen aus Γ und möglicherweise weitere, dann enthält die Folgerungsmenge von Δ mindestens alle Folgerungen von Γ.

Beispiel und inkonsistente Annahmen

Ein Beispiel aus der Aussagenlogik beginnt mit zwei Annahmen:

• Peter hat Kummer.
• Wenn Peter Kummer hat, trinkt er.

Daraus folgt die Aussage „Peter trinkt“. Fügt man die weitere, für diese Folgerung nicht benötigte Annahme „Peter ist Österreicher“ hinzu, folgt weiterhin, dass Peter trinkt. Dies veranschaulicht die Monotonie: Zusätzliche Prämissen beseitigen eine bereits mögliche Ableitung nicht.

Die Folgerung bleibt in der klassischen Logik sogar dann bestehen, wenn die neue Annahme „Peter trinkt nicht“ lautet. Aus „Peter hat Kummer“, „Wenn Peter Kummer hat, trinkt er“ und „Peter trinkt nicht“ folgt weiterhin „Peter trinkt“. Die Prämissenmenge ist dann inkonsistent, das heißt, ihre Aussagen widersprechen einander. In der klassischen Logik gilt der Grundsatz „Ex contradictione sequitur quodlibet“: Aus einem Widerspruch folgt jede beliebige Aussage.

Geltungsbereich und Kritik

Der klassische aussagenlogische und prädikatenlogische Ableitbarkeitsbegriff ist monoton. Monotonie gilt außerdem in vielen weiteren Logiktypen, beispielsweise in der Modallogik.

Ob Monotonie eine allgemeine Eigenschaft sämtlicher Folgerungsbeziehungen sein sollte, ist jedoch umstritten. Die Kritik betrifft vor allem zwei Punkte: Alltägliche Folgerungen können durch neue Informationen zurückgenommen werden, und zusätzliche, aber irrelevante Annahmen erscheinen häufig nicht als sinnvoller Bestandteil eines Arguments. Daraus ergeben sich nicht-monotone Logiken und Relevanzlogiken.

Die Kritik richtet sich nicht gegen mathematische Folgerungen. In der Mathematik wird deduktiv, also mit dem Anspruch vollständiger Sicherheit, geschlossen.

Nicht-monotone Folgerungen im Alltag

Alltägliche Folgerungen gelten häufig nur wahrscheinlich und können deshalb nicht-monoton sein. Aus der Information „Tux ist ein Vogel“ würde man gewöhnlich schließen: „Tux kann fliegen.“ Kommt jedoch die zusätzliche Information „Tux ist ein Pinguin“ hinzu, wird diese Folgerung aufgegeben. Stattdessen folgt eher: „Tux kann nicht fliegen.“ Eine Erweiterung der Prämissen kann hier somit eine frühere Schlussfolgerung beseitigen.

Die Kontroverse lässt sich entschärfen, indem man zwischen sicheren und lediglich wahrscheinlichen Folgerungen unterscheidet. Aus „Peter hat Kummer“ und „Wenn Peter Kummer hat, trinkt er“ folgt mit völliger Sicherheit, dass Peter trinkt. Aus „Tux ist ein Vogel“ folgt dagegen nicht mit derselben Sicherheit, dass Tux fliegen kann: Zwar können die meisten Vögel fliegen, aber Pinguine und Vögel mit gebrochenen Flügeln können es nicht.

Für alltagstaugliche Folgerungsbeziehungen, die nicht absolut sicher gelten, sollte daher keine Monotonie vorausgesetzt werden. Um solche Schlussweisen darzustellen, wurden nicht-monotone Logiken entwickelt; als verwandtes Beispiel nennt der Artikel die Induktion.

Relevanz zusätzlicher Annahmen

Eine weitere Kritik fragt, ob sämtliche hinzugefügten Annahmen für die Konklusion relevant sein müssen. Im Peter-Beispiel trägt die zusätzliche Aussage „Peter ist Österreicher“ nichts dazu bei, dass aus seinem Kummer und der Regel über sein Trinken die Aussage „Peter trinkt“ folgt. Noch deutlicher wird dies mit der Annahme „Gras ist grün“: Sie verändert die klassische Ableitung nicht, steht aber in keinem erkennbaren inhaltlichen Zusammenhang mit der Konklusion.

Nach dieser Kritik dürfen irrelevante Annahmen nicht einfach als Bestandteil einer Schlussfolgerung gelten. Monotonie wäre dann keine universelle Eigenschaft des Schließens. Logiken, die den inhaltlichen Zusammenhang zwischen Prämissen und Konklusion berücksichtigen, heißen Relevanzlogiken.

Monotonie lässt sich jedoch verteidigen: Dass Argumente mit irrelevanten Prämissen im Alltag selten sind, kann praktische Gründe haben. Das Weglassen unnötiger Annahmen spart Zeit und führt trotzdem zum Argumentationsziel. Aus dieser Sicht sind Argumente mit irrelevanten Annahmen zwar ungewöhnlich, aber nicht deshalb logisch falsch.