Hydrostatischer Druck

Begriff und grundlegende Eigenschaften

Hydrostatischer Druck ist der Druck innerhalb eines ruhenden Fluids. Ein Fluid kann eine Flüssigkeit, ein Gas oder ein Plasma sein. Der Druck kann durch umschließende Wände, das Gewicht des Fluids (Gravitations- oder Schweredruck), einen äußeren Betriebs- oder Umgebungsdruck oder – bei bewegten Fluiden – durch Trägheit entstehen, etwa in einer Zentrifuge.

Nach dem Pascalschen Prinzip breitet sich der hydrostatische Druck im Fluid allseitig aus. Er wirkt im Volumen in alle Richtungen und immer senkrecht auf begrenzende Wände. In einem Fluid ohne äußeres Kraftfeld ist er überall gleich groß. Der hydrostatische Druck beschreibt einen besonderen Spannungszustand ohne Schubspannungen; solche Spannungen können in ruhenden Fluiden nicht auftreten.

In strömenden Fluiden hängt der Druck im Allgemeinen auch von der Strömungsgeschwindigkeit ab. Er ist beispielsweise an einem Staupunkt erhöht und in einer Venturi-Düse erniedrigt.

Druckverteilung und Pascalsches Gesetz

Für eine inkompressible Flüssigkeit mit konstanter Dichte ρ in einem homogenen Schwerefeld gilt:

p(h) = ρgh + p₀

Dabei ist ρ die Dichte, für Wasser ungefähr 1.000 kg/m³, g die Schwerebeschleunigung, für Deutschland ungefähr 9,81 m/s², h die Höhe des Flüssigkeitsspiegels über dem betrachteten Punkt und p₀ der Druck an der Flüssigkeitsoberfläche, zum Beispiel der Luftdruck. p(h) bezeichnet den hydrostatischen Druck in Abhängigkeit von der Höhe der Flüssigkeitssäule.

Ohne Schwerkraft und andere äußere Kräfte ist der Druck an allen Orten und in allen Richtungen gleich. Das folgt aus dem Kräftegleichgewicht eines sehr kleinen Zylinders: Die Druckkräfte p₁ dA und p₂ dA auf den Stirnflächen müssen gleich sein, also p₁ = p₂.

Auch bei Schwerkraft ist der Druck in einer horizontalen Ebene überall gleich groß. Bei einem senkrecht zum Schwerefeld liegenden kleinen Zylinder trägt dessen Gewicht nicht zum Kräftegleichgewicht entlang der Zylinderachse bei. Bei einem senkrecht zum Schwerefeld ausgerichteten Zylinder muss dagegen die Druckkraft auf der unteren Stirnfläche zusätzlich zur oberen Druckkraft das Gewicht der dazwischenliegenden Flüssigkeitssäule tragen. Daraus folgt:

p₁ dA = p₂ dA + dm·g

Mit dm = ρ·dA·dz erhält man p₁ = p₂ + ρg·dz. Im Grenzübergang ergibt sich die Differentialgleichung

∂p/∂z = −ρg.

Für konstante Dichte führt sie zu

p(z) = p₀ − ρgz.

Hier zeigt die Koordinate z entgegen der Gewichtskraft nach oben; die Formel p(h) ergibt sich mit h = −z.

Bodendruck, Kräfte und Anwendungen

Der Druck am Boden eines Gefäßes hängt bei geringer Kapillarität nicht von der Form oder Größe des Gefäßes ab, sondern nur von der Füllhöhe h. Der durch das Fluid ausgeübte Druck beträgt ρgh. Die Kraft auf den Boden nimmt jedoch proportional zur Bodenfläche zu. Der Umgebungs- oder Betriebsdruck kann bei der Ermittlung dieser Druckwirkung vernachlässigt werden, weil er überall als additive Konstante wirkt und von oben wie von unten einwirkt. Dieses Prinzip der Kraftverstärkung wird in der hydraulischen Presse genutzt; Blaise Pascal formulierte es erstmals 1653.

Hydrostatischer Druck ist unter anderem für Taucher wichtig, weil ihre Körpergase, insbesondere Stickstoff, einem bestimmten Druck ausgesetzt sind und dadurch die Taucherkrankheit vermieden werden soll. Ein Bathyscaph muss besonders hohen hydrostatischen Druck aushalten. Wassertürme verwenden den Druck der Wassersäule, um den für die Versorgung der Endverbraucher nötigen Leitungsdruck zu erzeugen.

In der Hydrogeologie kann sich nach dem Darcy-Gesetz zwischen zwei Punkten nur dann eine Strömung einstellen, wenn die Druckdifferenz nicht gleich der Differenz der hydrostatischen Drücke an diesen Punkten ist. Ein Heber ermöglicht es, Flüssigkeit über den Rand eines Behälters in einen tiefer gelegenen Behälter oder ins Freie zu leiten, ohne den Behälter umzukippen und ohne eine Öffnung unterhalb des Flüssigkeitsspiegels.

Hydrostatischer Druck in Himmelskörpern

In Himmelskörpern ist die Schwerebeschleunigung mit zunehmender Tiefe im Allgemeinen nicht konstant. Wird ein Himmelskörper als Kugel mit Radius R und konstanter Dichte beschrieben, gilt für den Druck:

p(h) = ∫₀ʰ ρ g(R − r) dr.

Der Ortsfaktor folgt aus dem Newtonschen Gravitationsgesetz:

g(r) = G M(r)/r² = GMr/R³ = ρr·4πG/3.

M(r) ist die Masse innerhalb einer konzentrischen Kugel mit Radius r, M = M(R) die Gesamtmasse und G die Gravitationskonstante. Mit dem Kugelvolumen V = 4/3 πR³ ergibt sich für den Druck im Zentrum:

p_Z = p(R) = (3G/8π)·(M²/R⁴) = ρ²R²·(2πG/3).

Bei stetig inhomogenen Schwerefeldern ist der Druck auf einer Niveaumenge des Kraftfeldes konstant. Diese Niveaumengen können gekrümmt sein, weshalb die betrachteten Zylinder infinitesimal kleine Länge und Querschnittsfläche haben müssen. Außerdem können Dichte ρ und Feldstärke g von Druck beziehungsweise Ort abhängen. Daher gibt es im Allgemeinen keine allgemeine Lösung der Differentialgleichung. Für feste Himmelskörper konstanter Dichte lässt sich g(z) bestimmen; in gasförmigen Sternen sind die Zusammenhänge so kompliziert, dass nur eine qualitative Darstellung möglich ist.

Gravitationsdruck in Sternen und Einheiten

Der Gravitationsdruck in Sternen entsteht durch die Schwerkraft, die den Stern zusammenzieht. Ihm können unter anderem der Strahlungsdruck und der kinetische Gasdruck entgegenwirken. In einem stabilen Stern herrscht ein Gleichgewicht aller Kräfte, sodass der Stern eine stabile Form besitzt. Näherungsweise gilt dies für Sterne auf der Hauptreihe des Hertzsprung-Russell-Diagramms.

Bei entstehenden Sternen überwiegt während der Kontraktion der Gravitationsdruck gegenüber den Kräften, die Gegendruck erzeugen. Bei einigen Klassen veränderlicher Sterne verändern sich die Sterndichte und damit die innerhalb oder außerhalb einer Kugel mit festem Radius liegende Materiemenge periodisch oder vorübergehend; dadurch ändert sich auch der hydrostatische Druck in der entsprechenden Entfernung vom Sternmittelpunkt. Sternwind führt außerdem zu stetigem Masseverlust und damit zu einer Druckänderung, die bei Hauptreihensternen allerdings sehr langsam ist. Auch Veränderungen des Sternaufbaus in späten Lebensstadien beeinflussen den hydrostatischen Druck.

Hydrostatischer Druck wird mit einem Druckmessgerät gemessen. Es gelten die Einheiten des allgemeinen Drucks: die SI-Einheit Pascal (Pa) mit 1 Pa = 1 N/m² sowie in der EU und der Schweiz die gesetzliche Einheit Bar (bar) mit 1 bar = 100.000 Pa (= 100 kPa).