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Kartennetzentwurf
Um jedoch das Konzept der Kartenprojektion zu verstehen, ist es hilfreich, sich einen Globus mit einer Lichtquelle vorzustellen. Diese Lichtquelle …
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Grundidee und Vorgehen
Ein Kartennetzentwurf, auch Kartenprojektion oder Kartenabbildung, ist eine Methode der Kartografie, mit der die gekrümmte, dreidimensionale Erdoberfläche auf einer flachen, zweidimensionalen Karte dargestellt wird. Er ist wichtig, weil Karten für Orientierung, Messungen und die Darstellung räumlicher Zusammenhänge gebraucht werden, die Erdoberfläche aber nicht ohne Veränderungen abgeflacht werden kann.
Abbildungsvorschriften lassen sich geometrisch-graphisch erklären oder mathematisch formulieren. In einer Geodateninfrastruktur sind Kartennetzentwürfe eine besondere Art von Koordinatenreferenzsystem: Sie wandeln ein mathematisches Erdmodell in die Ebene um. Es sind über 400 verschiedene Abbildungen bekannt.
Die Nutzung umfasst drei Schritte:
- Zuerst wird ein Modell für die Form der Erde oder eines anderen Himmelskörpers gewählt, normalerweise Kugel oder Ellipsoid.
- Danach werden geographische Koordinaten, also Länge und Breite, in kartesische Koordinaten umgewandelt: x und y beziehungsweise Rechtswert und Hochwert.
- Schließlich wird die Karte skaliert. In der manuellen Kartografie erfolgte dieser Schritt früher an zweiter Stelle; in der digitalen Kartografie kann er zuletzt erfolgen.
Hilfsflächen und Grundtypen
Kartennetzentwürfe werden unter anderem nach der Abbildungsfläche eingeteilt. Obwohl die meisten Entwürfe mathematische Formeln und keine physikalischen Projektionen sind, hilft das Modell eines beleuchteten Globus: Punkte, Linien und Flächen werden auf eine Hilfsfläche übertragen, die sich anschließend in die Ebene abrollen lässt.
Als Hilfsfläche dienen eine Ebene, ein Kegel, ein Zylinder oder andere Flächen. Daraus entstehen azimutale Abbildungen bei einer Ebene, Kegel- oder konische Abbildungen bei einem Kegel und Zylinderabbildungen bei einem Zylinder. Entscheidend ist auch, ob die Hilfsfläche den Globus berührt oder schneidet. Beim Zylinder in normaler Lage liegt der Berührkreis am Äquator; dort treten keine Verzerrungen auf. Ein Schnittzylinder schneidet die Erde dagegen an nördlichen und südlichen Breitenkreisen. Dieses Prinzip gilt entsprechend für andere Hilfsflächen.
Bei azimutalen Abbildungen berührt die Bildebene die Erde in einem Punkt. Zu den geometrisch konstruierbaren Zentralprojektionen gehören die orthografische, die stereografische und die gnomonische Projektion. Die orthografische Projektion verwendet parallele Projektionsstrahlen und ein im Unendlichen liegendes Zentrum; sie zeigt genau die Hälfte einer kugelförmigen Erde oder eines anderen Himmelskörpers und dient der anschaulichen Darstellung. Die stereografische Projektion hat ihr Zentrum auf der gegenüberliegenden Kugeloberfläche und ist winkeltreu; sie wird unter anderem für Sternkarten verwendet. Bei der gnomonischen Projektion liegt das Zentrum im Erdmittelpunkt. Sie bildet alle Großkreise als Geraden ab und ist deshalb für die Navigation geeignet, um die kürzeste Verbindung zwischen zwei Punkten zu finden.
Weitere azimutale Entwürfe sind mathematisch definiert. Die mittabstandstreue azimutale Projektion gibt Entfernungen vom Kartenmittelpunkt unverzerrt wieder, etwa für Funkdienste, deren Antenne im Berührungspunkt steht. Die flächentreue azimutale Projektion nach J. H. Lambert wird unter anderem für Atlaskarten eingesetzt.
Bei Kegelprojektionen wird die Erde auf einen Kegel übertragen; dessen Achse verläuft durch den Erdmittelpunkt. Schnitt- oder Berührkreise bestimmen Form und Lage des Kegels. In normaler Lage sind azimutale Abbildungen mit einem Öffnungswinkel von 180° und zylindrische Abbildungen mit 0° Grenzfälle der allgemeinen Kegelabbildung. Beispiele sind die längentreue Kegelprojektion, Lamberts winkeltreue Kegelprojektion und die flächentreue Albers-Kegelprojektion. Zylinderprojektionen verwenden einen Zylinder um die Erde. Dazu zählen längentreue Zylinderprojektionen, Mercator-Projektion, flächentreue Zylinderprojektion beziehungsweise (Gall-)Peters-Projektion, Miller-Zylinderprojektion und Lamberts flächentreue Zylinderprojektion. Gauß-Krüger und UTM nutzen transversale Zylinderprojektionen mit liegender Zylinderachse.
Lage der Abbildungsfläche
Neben der Hilfsfläche bestimmt ihr Aspekt, für welchen Teil der Erdoberfläche eine Abbildung besonders geeignet ist. Dafür vergleicht man Erdachse und Masselinie der Hilfsfläche: bei einer Ebene die Senkrechte, bei einem Zylinder die Mittellinie und bei einem Kegel die Mittellinie durch die Spitze.
Bei einer normalen oder polständigen Abbildung entspricht die Achse der Hilfsfläche der Erdachse. Bei einer transversalen oder querachsigen, äquatorständigen Abbildung steht die Hilfsflächenachse senkrecht zur Erdachse. Bei einer schiefachsigen oder schiefständigen Abbildung liegt sie schief zur Erdachse. Die Hilfsflächen können an beliebigen Stellen an die Kugel angelegt werden; gewählt wird die Lage nach dem darzustellenden Gebiet.
Unvermeidliche Verzerrungen und Treueeigenschaften
Eine Kugel kann nicht ohne Verzerrung in eine Ebene überführt werden. Mathematisch begründet dies die unterschiedliche Gaußsche Krümmung: Eine Kugelfläche mit Radius r hat die Krümmung 1/r², die Ebene die Krümmung 0. Daher gibt es keine Isometrie, also keine vollständig längengetreue Übertragung, zwischen Kugelfläche und Ebene. Die Tissotsche Indikatrix, auch Verzerrungsellipse, beschreibt die lokalen Verzerrungen an einem Punkt.
Je nach Entwurf können sich Streckenlängen, Flächengrößen und -formen sowie Winkel zwischen Linien ändern; auch der Maßstab kann innerhalb einer Karte variieren. Ein Beispiel ist die nahezu riesige Darstellung Grönlands in der Mercatorprojektion. Keine Kartenprojektion beseitigt sämtliche Verzerrungen. Man entscheidet deshalb, welche Eigenschaft für den Zweck der Karte Vorrang hat.
- Längentreue oder äquidistante Abbildungen geben bestimmte Strecken richtig wieder. Sie sind nie in allen Punkten und Richtungen absolut längentreu, sondern nur entlang bestimmter Linien oder von bestimmten Punkten aus. Echte Abbildungen sind an Berühr- und Schnittkreisen längentreu. Beispiele: quadratische und rechteckige Plattkarte entlang der Meridiane, mittabstandstreue Azimutalprojektion vom Mittelpunkt entlang der Radien sowie Sinusoidal-Projektion entlang der Breitenkreise und des Mittelmeridians.
- Flächentreue oder äquivalente Abbildungen geben Flächen entsprechend dem Maßstab korrekt wieder, können aber besonders am Kartenrand Formen stark verzerren. Beispiele sind Peters- beziehungsweise Gall-Peters-Projektion, Albers-Kegelprojektion, Lamberts flächentreue Azimutalprojektion, Mollweide- und Hammer-Aitov-Projektion.
- Winkeltreue oder konforme Abbildungen erhalten Winkel; sie werden besonders für Navigation in Schifffahrt und Flugverkehr, außerdem in der Kristallographie benötigt. Beispiele sind Mercator-Projektion, stereografische Projektion und Lamberts winkeltreue Kegelprojektion. Bei ihnen ist die Längenverzerrung an einem Punkt in jeder Richtung, dem Azimut, gleich groß.
- Vermittelnde Abbildungen suchen einen Kompromiss zwischen Längen-, Flächen- und Winkeltreue und sollen Verzerrungen minimieren. Dazu gehören etwa Robinson-, Van-der-Grinten-, Miller-Zylinder- und Winkel-Tripel-Projektion.
Ein Globus kann alle metrischen Eigenschaften in einem bestimmten Maßstab nahezu korrekt zeigen. Wegen seines sehr kleinen Maßstabs genügt dabei die Kugel als Näherung für die Erdfigur, die tatsächlich ein leicht abgeflachtes Rotationsellipsoid ist.
Unechte und zerlappte Abbildungen
In normaler Lage zeigen echte Abbildungen die Längenkreise als Geraden; Breitenkreise erscheinen als dazu rechtwinklige konzentrische Kreise, Kreisbögen oder Geraden. Alle anderen Entwürfe heißen unechte oder Pseudo-Abbildungen.
Unechte azimutale Abbildungen ähneln echten Azimutalprojektionen, sind aber mathematische Konstruktionen; Beispiele sind Aitov-Projektion von 1889 und die flächentreue Hammer-Planisphäre. Unechte Kegelabbildungen sind konoide Konstruktionen, beispielsweise Bonnesche und Stab-Wernersche Projektion in Herzform.
Bei unechten Zylinderabbildungen sind die Meridianbilder meist gekrümmt, anders als bei echten Zylinderabbildungen. Dazu gehören Sinusoidal- und Mollweide-Projektion, Eckert-Projektionen I–VI, Robinson- und Goode-Projektion. Globularprojektionen bezeichnen frühe antike und prämoderne Kartenentwürfe ohne fundierte mathematische Kenntnisse der Projektionsgeometrie; sie verwenden empirische Hilfsnetze aus einfachen, wohlgeformten Kurven in einem Kreis.
Zerlappte Netze teilen die Kartenfläche in Abschnitte, um Verzerrungen anders zu verteilen. Genannt werden die zerschnittene Goode-Projektion, die Dymaxion-Projektion von Buckminster Fuller, Waterman-Weltkarte und Cahill-Keyes-Weltkarte.
Koordinatensysteme in der Praxis
Kartennetwürfe werden praktisch in Koordinatensystemen eingesetzt. Beispiele sind die Schweizer Landeskoordinaten, das Gauß-Krüger-Koordinatensystem für Deutschland und Österreich sowie das UTM-Koordinatensystem. UTM bedeutet Universale Transversale Mercatorprojektion und ist ein weltumspannendes Zonensystem. Außerdem wird ETRS verwendet, zum Beispiel das Europäische Terrestrische Referenzsystem 1989.
