Gaußsche Trapezformel

Zweck und Grundidee

Die gaußsche Trapezformel berechnet den Flächeninhalt eines einfachen Polygons, also eines Vielecks, dessen Kanten sich nicht selbst schneiden. Dazu wird jeder Polygonkante eine vorzeichenbehaftete Trapezfläche zugeordnet. „Vorzeichenbehaftet“ bedeutet, dass eine Teilfläche je nach Richtung der Kante positiv oder negativ gezählt wird. Beim Addieren gleichen die negativen Trapeze jene Teile positiver Trapeze aus, die außerhalb des Polygons liegen.

Eine verwandte Darstellung ist die Dreiecksform. Ihr Analogon für stückweise glatte Kurven ist die Sektorformel von Leibniz. Für polygonale Flächen mit Gitterpunkten als Ecken kann außerdem der Satz von Pick verwendet werden. Andere Flächen lassen sich häufig durch Polygone annähern, sodass die gaußsche Trapezformel einen Näherungswert für ihren Flächeninhalt liefert.

Trapezformel und Orientierung

Die Eckpunkte des Polygons seien P_i=(x_i,y_i) für i=1,…,n. Sie werden in mathematisch positiver Richtung, also gegen den Uhrzeigersinn, durchlaufen. Damit auch die letzte Kante einheitlich behandelt werden kann, setzt man P_{n+1}=P_1.

Der Kante P_iP_{i+1} wird das Trapez mit den Punkten (x_i,y_i), (x_{i+1},y_{i+1}), (x_i,0) und (x_{i+1},0) zugeordnet. Seine vorzeichenbehaftete Fläche lautet

A_i = 1/2 · (y_i+y_{i+1})(x_i−x_{i+1}).

Für x_i<x_{i+1} ist A_i negativ, für x_i>x_{i+1} positiv und für x_i=x_{i+1} gleich 0. Der gesamte Flächeninhalt ergibt sich durch Addition:

A = 1/2 · ∑{i=1}^n (y_i+y{i+1})(x_i−x_{i+1}).

Ausgeschrieben ist dies

A = 1/2 · ((y_1+y_2)(x_1−x_2)+…+(y_n+y_1)(x_n−x_1)).

Bei umgekehrter, also negativer Orientierung wird auch A negativ. Der geometrische Flächeninhalt ist dann |A|. In der Geodäsie liegt die x-Achse vertikal und die y-Achse horizontal; zugleich ist die Orientierung des Polygons entgegengesetzt. Werden sowohl Koordinaten als auch Orientierung vertauscht, bleibt das Ergebnis der Formeln unverändert. Wird nur eine dieser Besonderheiten nicht berücksichtigt, liefert |A| trotzdem den gesuchten Flächeninhalt.

Dreiecks- und Determinantenformen

Durch Ausmultiplizieren der Trapezformel und mithilfe der Gleichheit ∑{i=1}^n x_i y_i = ∑{i=1}^n x_{i+1}y_{i+1} erhält man die Determinantenform:

A = 1/2 · ∑{i=1}^n (x_i y{i+1}−x_{i+1}y_i) = 1/2 · ∑{i=1}^n |x_i x{i+1}; y_i y_{i+1}|.

Dabei bezeichnet der Ausdruck zwischen den senkrechten Strichen die 2×2-Determinante x_i y_{i+1}−x_{i+1}y_i. Die Hälfte dieser Determinante ist die vorzeichenbehaftete Fläche des Dreiecks OP_iP_{i+1}, wobei O der Koordinatenursprung ist. Deshalb heißt diese Darstellung auch Dreiecksform.

Setzt man zusätzlich P_0=P_n, ergeben sich zwei weitere gleichwertige Formeln:

A = 1/2 · ∑{i=1}^n y_i(x{i−1}−x_{i+1})

und

A = 1/2 · ∑{i=1}^n x_i(y{i+1}−y_{i−1}).

Die Indizes werden dabei zyklisch gelesen: Vor P_1 liegt P_n und nach P_n folgt P_1. Die beiden letzten Darstellungen werden in Büchern über Vermessungskunde ebenfalls als gaußsche Dreiecksformeln bezeichnet.

Rechenbeispiel und Schnürsenkel-Schema

Für das Fünfeck mit

P_1=(1,6), P_2=(3,1), P_3=(7,2), P_4=(4,4), P_5=(8,5)

wird die Determinantenform auf alle fünf aufeinanderfolgenden Kanten einschließlich der Schlusskante P_5P_1 angewendet:

2A = |1 3; 6 1| + |3 7; 1 2| + |7 4; 2 4| + |4 8; 4 5| + |8 1; 5 6|

= 1−18 + 6−7 + 28−8 + 20−32 + 48−5 = 33.

Damit ist A=16,5.

Das Schnürsenkel-Schema, englisch „shoelace formula“, ist eine in der englischen Literatur verwendete Anordnung, mit der sich die benötigten 2×2-Determinanten übersichtlich berechnen lassen. Für dieses Beispiel genügen damit sechs statt zehn Spalten. Das Schema ist eine praktische Schreib- und Rechenhilfe für die gaußsche Trapezformel; es beruht auf derselben Determinantenform und ist keine andere Flächenformel.