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Gauß-Fabersche Ungleichung
Im mathematischen Gebiet der Analysis ist die Gauß-Fabersche Ungleichung (englisch Gauss-Faber's inequality) eine Integralungleichung, …
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Kernidee
Die Gauß-Fabersche Ungleichung ist eine Integralungleichung aus der Analysis. Sie geht auf eine Publikation des Mathematikers Georg Faber aus dem Jahr 1922 zurück. Faber knüpfte darin an Arbeiten von Carl Friedrich Gauß zur Methode der kleinsten Quadrate an, besonders an die Abhandlungen über die Theoria combinationis observationum erroribus minimis obnoxiae.
Die Ungleichung dient dazu, uneigentliche Integrale für bestimmte Produkte integrierbarer Funktionen abzuschätzen. Ein uneigentliches Integral ist ein Integral, bei dem der Integrationsbereich unbeschränkt ist oder die Funktion an einer Stelle problematisch werden kann. Fabers Arbeit führte später zu Folgearbeiten, in denen die Ungleichung erweitert und verschärft wurde.
Aussage der Ungleichung
Betrachtet wird das unendliche Intervall J = [0,∞[ im Körper der reellen Zahlen. Auf diesem Intervall sei eine monoton fallende Funktion Φ: J → ℝ gegeben. „Monoton fallend“ bedeutet, dass die Funktionswerte nicht größer werden, wenn x zunimmt.
Für jede reelle Zahl p ∈ J soll das uneigentliche Integral K_p = ∫_0^∞ x^p Φ(x) dx existieren. Zusätzlich gilt K_0 = 1.
Dann gilt für p, q ∈ J mit p > q stets die Ungleichung: ((p+1)K_p)^(1/p) ≥ ((q+1)K_q)^(1/q). Diese Formel vergleicht also bestimmte Potenzen der Integrale K_p und K_q und liefert eine Abschätzung, sobald die genannten Voraussetzungen erfüllt sind.