Gasdynamik

Gegenstand und Bedeutung

Gasdynamik ist ein Fachgebiet der Fluidmechanik beziehungsweise Strömungslehre. Sie untersucht kompressible, also dichteveränderliche Strömungen. Nach einer Definition von Lew Landau und Jewgeni Lifschiz bezeichnet sie die Dynamik von Hochgeschwindigkeitsströmungen, bei denen die Strömungsgeschwindigkeit eines Fluids mit der Schallgeschwindigkeit vergleichbar ist oder diese übersteigt. Dabei sind die Auswirkungen der Kompressibilität besonders wichtig; praktisch treten solche Bewegungen bei Gasen auf.

Untersucht werden sowohl externe Strömungen, beispielsweise über Flugzeugen oder Wiedereintrittskörpern wie dem Space Shuttle und Landekapseln von Raumschiffen, als auch interne Strömungen durch Düsen und Diffusoren.

Grundannahmen und Erhaltungssätze

Sind die Annahmen der Stromfadentheorie erfüllt, kann die Strömung eindimensional beschrieben werden. Wegen der relativ geringen Dichte von Gasen wird die Wirkung der Gravitation in der Regel vernachlässigt. Außerdem wird angenommen, dass dem Gas weder Wärme zu- noch abgeführt wird und keine Reibungsverluste auftreten. Die Entropie bleibt deshalb konstant; die Strömung ist isentrop.

Für eine isentrope Strömung gelten mehrere grundlegende Beziehungen:

• Isentropenbeziehung: p ∼ ρᵏ.

• Energieerhaltung längs des Stromfadens: u²/2 + cₚT = cₚTₜ = konst. Die Summe aus kinetischer Energie und Enthalpie bleibt konstant.

• Kontinuitätsgleichung: ṁ = ρ · u · A = konst. Sie besagt, dass keine Masse verloren geht und der Massenstrom längs des Stromfadens konstant ist.

• Zustandsgleichung des idealen Gases: p = ρ · Rₛ · T.

Diese vier Gleichungen beschreiben eindeutig die vier Variablen Strömungsgeschwindigkeit u, Druck p, Temperatur T und Dichte ρ. Druck, Temperatur und Dichte können auf die Ruhegrößen mit dem Index t bezogen werden. Ruhegrößen sind die Zustandsgrößen, die sich einstellen würden, wenn die Strömung verlustfrei bis zum Stillstand verzögert würde. Startet eine Strömung aus einem großen Druckbehälter, entsprechen Behälterdruck, Behältertemperatur und Behälterdichte unter der Voraussetzung der Verlustfreiheit den Ruhegrößen.

Die Geschwindigkeit selbst kann wegen der Division durch null nicht auf den Ruhezustand bezogen werden. Stattdessen wird sie durch die Machzahl Ma und die Lavalzahl M* beschrieben. Dazu dient die Schallgeschwindigkeit c = √(κ · Rₛ · T):

Ma = u/√(κ · Rₛ · T)

M* = u/√((2κ/(κ + 1)) · Rₛ · Tₜ).

Dimensionslose Zustandsbeziehungen

Machzahl und Lavalzahl sowie die auf Ruhegrößen bezogenen Zustandsgrößen sind dimensionslose Ähnlichkeitskennzahlen. Sie lassen sich ineinander umrechnen. Für die Quadrate der Kennzahlen gilt:

Ma² = M²/[1 − ((κ − 1)/2)(M² − 1)]

Ma² = (2/(κ − 1))(Tₜ/T − 1)

Ma² = (2/(κ − 1))[(pₜ/p)^((κ − 1)/κ) − 1]

Ma² = (2/(κ − 1))[(ρₜ/ρ)^(κ − 1) − 1]

Umgekehrt gilt:

M*² = Ma²/[1 + ((κ − 1)/(κ + 1))(Ma² − 1)]

M*² = ((κ + 1)/(κ − 1))(1 − T/Tₜ)

M*² = ((κ + 1)/(κ − 1))[1 − (p/pₜ)^((κ − 1)/κ)]

M*² = ((κ + 1)/(κ − 1))[1 − (ρ/ρₜ)^(κ − 1)]

Die Temperatur-, Druck- und Dichteverhältnisse können direkt aus der Machzahl oder Lavalzahl bestimmt werden:

T/Tₜ = (1 + ((κ − 1)/2)Ma²)⁻¹ = 1 − ((κ − 1)/(κ + 1))M*² = (p/pₜ)^((κ − 1)/κ) = (ρ/ρₜ)^(κ − 1)

p/pₜ = (1 + ((κ − 1)/2)Ma²)^(−κ/(κ − 1)) = (1 − ((κ − 1)/(κ + 1))M*²)^(κ/(κ − 1)) = (T/Tₜ)^(κ/(κ − 1))

ρ/ρₜ = (1 + ((κ − 1)/2)Ma²)^(−1/(κ − 1)) = (1 − ((κ − 1)/(κ + 1))M*²)^(1/(κ − 1)) = (T/Tₜ)^(1/(κ − 1)) = (p/pₜ)^(1/κ).

Formelzeichen

T bezeichnet die Temperatur, stets als absolute Temperatur in Kelvin; Tₜ ist die Ruhetemperatur. p ist der Druck, stets als absoluter Druck gegenüber dem Vakuum, und pₜ der Ruhedruck. ρ steht für die Dichte.

cₚ ist die spezifische Wärmekapazität, Rₛ die spezifische Gaskonstante und κ der Isentropenexponent. u bezeichnet die Strömungsgeschwindigkeit, c die Schallgeschwindigkeit, ṁ den Massenstrom und A die durchströmte Querschnittsfläche. Ma ist die Machzahl, M* die Lavalzahl.