Fermi-Problem

Grundidee

Ein Fermi-Problem oder eine Fermi-Frage ist eine quantitative Abschätzung für ein Problem, zu dem zunächst praktisch keine Daten verfügbar sind. Benannt ist es nach dem Kernphysiker Enrico Fermi, der dafür bekannt war, trotz fehlender Informationen schnell brauchbare Abschätzungen zu liefern. Beim ersten Atombombentest, dem Trinity-Test, warf er zum Beispiel Papierschnipsel in die Luft und beobachtete, wie weit sie von der Druckwelle weggeblasen wurden. Daraus schätzte er vor Ort die ungefähre Sprengkraft der Bombe ab, bevor Sensormessungen ausgewertet waren.

Wichtig ist bei Fermi-Problemen nicht ein exakt berechneter Wert, sondern eine plausible Größenordnung. Eine Größenordnung beschreibt, in welchem Zahlenbereich ein Ergebnis ungefähr liegt, zum Beispiel eher bei 10, 100, 1000 oder 1.000.000.

Vorgehen beim Schätzen

Das Schwierige an Fermi-Problemen ist, dass man weder direkte Erfahrungswerte für das Gesamtproblem noch die nötigen Daten für eine normale Berechnung hat. Man kennt aber oft die Zusammenhänge im Umfeld des Problems. Diese nutzt man, um indirekt zu einer Lösung zu kommen.

Voraussetzung sind Allgemeinwissen und „gesunder Menschenverstand“. Dieses Vorwissen muss man in Zahlen übersetzen, also quantifizieren. Dabei sollten die Annahmen begründet werden. Anschließend zerlegt man das Gesamtproblem in mehrere Teilprobleme, schätzt für jedes Teilproblem eine Größe und setzt die Teilergebnisse zusammen.

Das Gesamtergebnis kann oft erstaunlich genau sein, zumindest in der richtigen Größenordnung. Ein Grund dafür ist, dass man die Teilprobleme meist besser kennt als das Gesamtproblem. Außerdem sind die Fehler nicht unbedingt systematisch: Wenn eine Größe zu groß geschätzt wurde, kann eine andere zu klein geschätzt worden sein, sodass sich Fehler teilweise gegenseitig ausgleichen.

Klassisches Beispiel

Ein klassisches Fermi-Problem fragt nach der Zahl der Klavierstimmer in Chicago. Direkte statistische Daten wie die durchschnittliche Anzahl von Klavierstimmern pro 1000 Einwohner liegen zunächst nicht vor. Auch Erfahrungswerte aus anderen Städten werden nicht verwendet. Stattdessen nutzt man Annahmen darüber, wie viele Menschen dort leben, wie viele Haushalte es gibt, wie viele Klaviere regelmäßig gestimmt werden und wie viel Arbeit ein Klavierstimmer leisten kann.

Die Annahmen lauten: In Chicago leben ungefähr 3 Millionen Menschen. Durchschnittlich leben ungefähr zwei Personen in einem Haushalt. In ungefähr jedem zwanzigsten Haushalt gibt es ein Klavier, das regelmäßig gestimmt wird. Klaviere werden ungefähr einmal pro Jahr gestimmt. Das Stimmen eines Klaviers dauert inklusive Fahrzeit etwa zwei Stunden. Ein Klavierstimmer hat einen 8-Stunden-Tag, eine 5-Tage-Woche und arbeitet 40 Wochen pro Jahr.

Daraus ergibt sich die Zahl der jährlichen Stimmungen: (3.000.000 Einwohner) / (2 Personen pro Haushalt) × (1 Klavier/20 Haushalte) × (1 Mal Stimmen pro Klavier und Jahr) = 75.000 Stimmungen pro Jahr.

Ein Klavierstimmer kann pro Jahr bewältigen: (40 Wochen pro Jahr) × (5 Tage pro Woche) × (8 Stunden pro Tag) / (2 Stunden pro Klavier) = 800 Klaviere pro Jahr.

Wenn in Chicago etwa 75.000 Klavierstimmungen pro Jahr nötig sind und ein Klavierstimmer etwa 800 pro Jahr schafft, ergibt sich ungefähr 100 Klavierstimmer.

Nutzen des Beispiels

Das Beispiel zeigt, wie eine grobe Abschätzung praktische Entscheidungen unterstützen kann. Wenn jemand ein Geschäft für Werkzeuge für Klavierstimmer eröffnen möchte und aus einer weiteren Abschätzung weiß, dass dafür 10.000 potenzielle Kunden nötig wären, zeigt das Ergebnis: Selbst in einer Großstadt wie Chicago würde sich ein solches Geschäft bei etwa 100 Klavierstimmern bei weitem nicht lohnen.

Man kann die Planung dann verändern und erneut abschätzen, bis ein vermutlich funktionierendes Geschäftsmodell entsteht. Fermi-Probleme dienen also nicht nur dazu, eine Zahl zu finden, sondern auch dazu, Entscheidungen zu prüfen und Alternativen zu vergleichen.

Anwendungen

Fermi-Abschätzungen können Berechnungen ersetzen, wenn zunächst nur die Größenordnung interessiert. Manchmal ist eine exakte Berechnung auch gar nicht möglich, weil Daten fehlen. Als Beispiel nennt der Artikel die Drake-Gleichung, mit der die Anzahl intelligenter Zivilisationen in der Milchstraße abgeschätzt wird; dazu gehört auch der Zusammenhang mit dem Fermi-Paradoxon.

Sie können Berechnungen vorbereiten. Durch eine Abschätzung kennt man bereits ungefähr die Größenordnung und kann besser entscheiden, wie genau man rechnen muss. Wenn man zum Beispiel die Größenordnung einer Geschwindigkeit abschätzt, kann man beurteilen, ob relativistische Effekte berücksichtigt werden müssen oder vernachlässigt werden können.

Sie können Berechnungen überprüfen. In komplizierten Rechnungen fallen Rechenfehler oft nicht sofort auf. Eine einfache Abschätzung liefert ein Kontroll-Ergebnis und oft auch Zwischenergebnisse. Sinnvoll ist es, zuerst zu schätzen, weil man sich sonst leicht vom bereits berechneten Ergebnis beeinflussen lässt.

Warum die Methode wichtig ist

Die Zerlegung in Teilprobleme macht eine Abschätzung leichter verbesserbar. Man kann einzelne Teilabschätzungen durch genauere Werte ersetzen. Wenn man stattdessen nur wenige komplizierte Grundannahmen verwendet, ist es meist schwieriger, die Abschätzung gezielt zu verbessern.

Außerdem kann man durch die Teilprobleme oft mit wenig Aufwand eine untere und obere Grenze für das Gesamtergebnis angeben. Dazu setzt man für jedes Teilproblem den kleinsten beziehungsweise größten wahrscheinlichen Wert ein.

Die Vorgehensweise bei Fermi-Problemen ist grundlegend für die Naturwissenschaften. Man lernt, ein komplexes Problem in einfachere Teilprobleme zu zerlegen und klar zu benennen, von welchen Theorien, Voraussetzungen und Annahmen man ausgeht. Fermi-Probleme sind meist breit gefasst und verlangen die komplette Argumentationskette von den Grundannahmen bis zum Ergebnis. In der Wissenschaft arbeitet man dagegen oft an kleineren Teilaspekten und nimmt ganze Theorien bereits als gegeben an.