Fehlerintegral

Kernidee und Definition

Das gaußsche Fehlerintegral Φ ist die Verteilungsfunktion der Standardnormalverteilung. Es gibt an, welcher Anteil der Fläche unter der Dichtekurve der Standardnormalverteilung links von einem Wert z liegt. Die Standardnormalverteilung hat den Mittelwert μ = 0 und die Standardabweichung σ = 1.

Definiert ist das Fehlerintegral durch

Φ(z) = 1/√(2π) · ∫₋∞ᶻ e^(−t²/2) dt.

Die Funktion e^(−t²/2)/√(2π) ist dabei die Dichtefunktion der Standardnormalverteilung. Beginnt das Integral bei 0 statt bei −∞, verwendet man die Funktion Φ₀:

Φ₀(z) = 1/√(2π) · ∫₀ᶻ e^(−t²/2) dt = Φ(z) − 1/2.

Bedeutung für Wahrscheinlichkeiten

Für eine standardnormalverteilte Zufallsvariable gibt Φ(z) die Wahrscheinlichkeit an, dass ihr Wert kleiner oder gleich z ist.

Die Wahrscheinlichkeit für einen Wert oberhalb von z erhält man über die Gegenwahrscheinlichkeit:

Φ(∞) − Φ(z) = 1 − Φ(z).

Dabei wird verwendet, dass Φ(∞) = 1 ist. Das bedeutet: Die gesamte Fläche unter der Dichtekurve, der sogenannten Gauß-Glocke, beträgt 1.

Anwendungsbeispiel

Als Beispiel wird einem Übertragungskanal gaußverteiltes Störrauschen mit der Streuung σ = 1,25 V überlagert. Der Kanal arbeitet fehlerfrei, solange die Störung zwischen −5 V und +5 V liegt. Ein Übertragungsfehler tritt daher auf, wenn der Rauschwert höchstens −5 V oder mindestens +5 V beträgt.

Für einen Rauschwert nicht größer als −5 V gilt:

p₁ = Φ(−5 V/σ) = Φ(−4) = 0,317 · 10⁻⁴.

Für einen Rauschwert mindestens gleich +5 V gilt:

p₂ = Φ(∞) − Φ(5 V/σ) = 1 − Φ(4) = 0,317 · 10⁻⁴.

Die Gesamtwahrscheinlichkeit eines Übertragungsfehlers ist die Summe beider Randwahrscheinlichkeiten:

p = p₁ + p₂.

Zusammenhang mit der Fehlerfunktion

Durch die Substitution x = t/√2 und entsprechende Umformungen lässt sich die gaußsche Fehlerfunktion erf aus Φ beziehungsweise Φ₀ herleiten:

erf(z) = 2Φ(√2 · z) − 1

und gleichbedeutend

erf(z) = 2Φ₀(√2 · z).

Nachweis der Normierung

Die Normierung Φ(∞) = 1 folgt aus dem Wert des uneigentlichen Integrals

I := ∫₋∞^∞ e^(−t²/2) dt.

Obwohl der Integrand keine durch elementare Funktionen ausdrückbare Stammfunktion besitzt, kann das bestimmte Integral berechnet werden. Dazu wird I quadriert und als zweidimensionales Integral geschrieben:

I² = ∫₋∞^∞ ∫₋∞^∞ e^(−(x²+y²)/2) dx dy.

Die erste Umformung beruht auf der Linearität des Integrals. Anschließend wechselt man von kartesischen Koordinaten zu Polarkoordinaten mit x = r cos φ, y = r sin φ und r² = x² + y². Nach dem Transformationssatz entsteht wegen des zusätzlichen Faktors r:

I² = ∫₀^∞ ∫₀²π e^(−r²/2) r dφ dr = 2π ∫₀^∞ e^(−r²/2) r dr = −2π [e^(−r²/2)]₀^∞ = 2π.

Damit ist I = √(2π). Eingesetzt in die Definition von Φ ergibt sich:

lim(z→∞) Φ(z) = 1/√(2π) · ∫₋∞^∞ e^(−t²/2) dt = 1/√(2π) · I = 1.

Damit ist gezeigt, dass die gesamte Wahrscheinlichkeit der Standardnormalverteilung gleich 1 ist.