Farbladung

Grundidee der Farbladung

Die Farbladung, kurz Farbe, beschreibt in der Quantenchromodynamik (QCD), wie sich ein Teilchen unter der starken Wechselwirkung verhält. Im Standardmodell tragen Quarks und Gluonen Farbe; alle anderen Elementarteilchen sind farblos. Mathematisch befinden sich Quarks und Gluonen in einer nichttrivialen Darstellung der QCD-Symmetriegruppe, farblose Teilchen dagegen in der trivialen Darstellung.

Die Bezeichnung „Farbe“ meint keine sichtbare, optische Farbe. Auch handelt es sich nicht um eine einzelne Ladung nach dem Muster der elektrischen Ladung. Ein Quark wird vielmehr durch eine Wellenfunktion mit drei Farbkomponenten beschrieben, die rot, grün und blau heißen. Antiquarks besitzen die entsprechenden Antifarben antirot beziehungsweise cyan, antigrün beziehungsweise magenta und antiblau beziehungsweise gelb. Gluonen werden als Kombinationen aus Farbe und Antifarbe sowie durch Matrizen im Farbraum dargestellt.

Die Analogie zur optischen Farbmischung besteht darin, dass bestimmte Kombinationen insgesamt farbneutral sind: eine Farbe mit der zugehörigen Antifarbe, drei verschiedene Farben oder drei verschiedene Antifarben. Solche farbneutralen Zustände besitzen keine resultierende starke Ladung.

Experimentelle und theoretische Hinweise

Das Konzept eines zusätzlichen Freiheitsgrades mit drei möglichen Werten wurde 1964 von Oscar Wallace Greenberg und unabhängig davon 1965 von Moo-Young Han und Yoichiro Nambu vorgeschlagen.

Ein wichtiger Anlass war das 1951 entdeckte Δ⁺⁺-Baryon. Es besteht aus drei identischen u-Quarks ohne Bahndrehimpuls. Sein räumlicher Zustand und seine Spinwellenfunktion mit Gesamtspin 3/2 sind symmetrisch. Als Baryon ist es jedoch ein Fermion, dessen Gesamtwellenfunktion antisymmetrisch sein muss. Ein zusätzlicher diskreter Freiheitsgrad löst dieses Problem. Damit drei Quarks in diesem Freiheitsgrad einen antisymmetrischen Zustand bilden können, muss er mindestens drei verschiedene Werte besitzen.

Ein weiterer Hinweis ergab sich aus Elektron-Positron-Collidern. Für die Erzeugung von Hadronen im Vergleich zur Erzeugung eines Myon-Antimyon-Paares wäre naiv das Verhältnis

BR(e⁺e⁻ → had) / BR(e⁺e⁻ → μ⁺μ⁻) = Σ_flavours Qᵢ²/e²

zu erwarten, wobei Qᵢ die elektrischen Ladungen der beteiligten Quark-Flavours und e die Elementarladung bezeichnet. Experimentell fand man jedoch den dreifachen Wert:

BR(e⁺e⁻ → had) / BR(e⁺e⁻ → μ⁺μ⁻) = 3 Σ_flavours Qᵢ²/e².

Dies spricht dafür, dass es für jeden Quark-Flavour drei Farbzustände gibt. Spektroskopische Messungen schlossen zugleich aus, dass sich diese Zustände durch unterschiedliche Quarkmassen desselben Flavours unterscheiden.

Mathematische Beschreibung der Quarkfarben

Die Symmetriegruppe der Quantenchromodynamik ist SU(3). Ihre fundamentale Darstellung verwendet komplexe 3×3-Matrizen. SU(3) ist eine Lie-Gruppe der Dimension 8; ihre acht Erzeugenden sind die Gell-Mann-Matrizen λᵃ. Eine Eichtransformation, also eine Änderung der internen Farbbeschreibung, wirkt auf ein Fermion ψ gemäß

ψ → ψ′ = exp(−i Σₐ₌₁⁸ θᵃλᵃ)ψ,

wobei θᵃ acht reelle Parameter sind. ψ kann ein Triplett, also ein dreikomponentiger Vektor, oder ein Singulett, also ein Skalar, sein. Ein Farbsingulett befindet sich in der trivialen Darstellung und wird von der Quantenchromodynamik nicht beeinflusst.

Die acht starken Ladungsdichten sind definiert durch

ρᵃ = ψᵢ† (1/2)λᵃᵢⱼ ψⱼ.

Für die Gell-Mann-Matrizen gilt die Kommutatorrelation [λᵃ, λᵇ] = 2ifᵃᵇᶜλᶜ mit den Strukturkonstanten fᵃᵇᶜ. Deshalb sind die acht Ladungen nicht gleichzeitig messbar. Als maximale Untermenge kommutierender Observablen verwendet man üblicherweise q³ und q⁸; die zugehörigen Matrizen λ³ und λ⁸ sind diagonal. Ihre gemeinsamen Eigenvektoren bilden die drei Farbbasiszustände rot r = (1,0,0)ᵀ, grün g = (0,1,0)ᵀ und blau b = (0,0,1)ᵀ.

Die zugehörigen Ladungsvektoren lauten qᵣ = (1/2)e₃ + [1/(2√3)]e₈, q_g = −(1/2)e₃ + [1/(2√3)]e₈ und q_b = −(1/√3)e₈. Ihre Summe ist null, sodass die Kombination aus einem roten, einem grünen und einem blauen Teilchen farbneutral ist. Antiquarks transformieren in der konjugierten Darstellung; ihre Basisvektoren entsprechen cyan c = (1,0,0), magenta m = (0,1,0) und gelb y = (0,0,1).

Gluonen als Träger der Wechselwirkung

Gluonen sind die Austauschteilchen der starken Wechselwirkung. Sie transformieren in der adjungierten Darstellung von SU(3). Für ein Gluonfeld A gilt

A′ᵘᵃ = Aᵘᵃ − (1/g)∂ᵘθᵃ + fᵃᵇᶜθᵇAᵘᶜ.

Weil SU(3) acht Erzeugende besitzt, gibt es acht an der starken Wechselwirkung teilnehmende Gluonen; zusammen bilden sie ein Oktett.

Im Farbraum werden Gluonen als linear unabhängige, spurfreie 3×3-Matrizen dargestellt. Formal sind sie Tensorprodukte aus einer Farbe und einer Antifarbe und können bis auf ihre Normierung den Gell-Mann-Matrizen entsprechen. Ein Beispiel ist Aᵘ¹ = (rot–magenta + grün–cyan)/√2, eine Superposition zweier Farbe-Antifarbe-Kombinationen.

Aus den neun grundsätzlich möglichen Kombinationen gehört eine nicht zum wechselwirkenden Oktett. Dieses „neunte“ Gluon wäre die Kombination (rot–cyan + grün–magenta + blau–gelb)/√3 und entspräche der dreidimensionalen Einheitsmatrix I₃/√3. Es wäre ein SU(3)-Singulett, nähme nicht an der starken Wechselwirkung teil und wäre damit steril. Versuche, diesen Zustand als Photon, das Eichboson der elektromagnetischen Wechselwirkung, zu deuten, scheiterten.

Farbneutrale Teilchen und Confinement

Freie Quarks und Gluonen werden experimentell nicht beobachtet. Sie unterliegen dem Confinement, sind also dauerhaft in zusammengesetzten Teilchen eingeschlossen. Die dafür verantwortliche starke Kernkraft wächst mit zunehmendem Abstand. Beim Versuch, ein Quark aus einem Hadron zu lösen, entsteht ein neues Quark-Antiquark-Paar; anstelle eines freien Quarks bilden sich dadurch zwei neue Hadronen. Beobachtbare Objekte aus Quarks oder Gluonen müssen daher SU(3)-Singuletts und somit insgesamt farbneutral sein.

Drei grundlegende Quarkkombinationen ergeben Singuletts:

• Ψ_B = (1/√6) εₐᵦ𝑐 ψₐψᵦψ𝑐 ist die Wellenfunktion eines Baryons aus drei Quarks.

• Ψ_anti-B = (1/√6) εₐᵦ𝑐 ψ̄ₐψ̄ᵦψ̄𝑐 ist die Wellenfunktion eines Antibaryons aus drei Antiquarks.

• Ψ_M = (1/√3) ψ̄ₐψₐ ist die Wellenfunktion eines Mesons aus einem Quark und einem Antiquark.

Dabei ist ε das Levi-Civita-Symbol. Theoretisch können außerdem exotische Strukturen wie Tetraquarks, Pentaquarks und Zustände mit noch höherem Quarkinhalt auftreten, die sich aus solchen farbneutralen Kombinationen zusammensetzen lassen. Rein aus Gluonen aufgebaute Zustände heißen Glueballs. Laut Artikel gibt es am COSY experimentelle Hinweise auf Tetraquarks, aber nicht auf Glueballs.

Dass SU(3) eine nichtabelsche Eichtheorie ist, erklärt zugleich eine wichtige Besonderheit der starken Wechselwirkung: Obwohl Gluonen wie Photonen masselos sind, ist die starke Wechselwirkung kurzreichweitig. Gluonen tragen selbst Farbe und wechselwirken deshalb miteinander. In der elektromagnetischen U(1)-Theorie fallen dagegen die triviale und die adjungierte Darstellung zusammen, weshalb Photonen einander nicht direkt beeinflussen.