Helmholtz-Spule

Aufbau und Grundprinzip

Eine Helmholtz-Spule ist eine besondere Anordnung aus zwei kurzen kreisförmigen Spulen mit großem Radius R. Die Spulen stehen parallel auf derselben Achse und haben den Abstand R. Sie werden gleichsinnig, also mit gleichgerichtetem Strom, durchflossen. Die Symmetrieachse wird in diesem Artikel je nach Abschnitt als x- oder z-Achse bezeichnet.

Das Magnetfeld einer einzelnen Spule ist inhomogen, seine Stärke und Richtung ändern sich also mit dem Ort. Bei der Helmholtz-Anordnung überlagern sich die Felder beider Spulen jedoch so, dass zwischen ihnen nahe der Spulenachse ein Bereich mit weitgehend homogenem Magnetfeld entsteht. Dieser Bereich ist für Experimente frei zugänglich.

In der Mitte verschwinden bei der Anordnung nach Helmholtz die erste, zweite und dritte Ableitung der Feldfunktion in alle Richtungen. Am Rand des Bereichs fällt die Feldstärke dagegen relativ schnell ab. Die Helmholtz-Spule ist damit die einfachste Spulenanordnung, um in einem endlichen Volumen ein nahezu konstantes Magnetfeld zu erzeugen.

Wie bei jeder Luftspule ist die erzeugte magnetische Feldstärke streng linear von der Spulenstromstärke abhängig. Da sich das Feld aus Spulengeometrie, Stromstärke und Windungszahl analytisch berechnen lässt, eignet sich die Helmholtz-Spule besonders zur Kalibrierung von Magnetometern.

Der Abstand beeinflusst den Kompromiss zwischen Feldstärke und nutzbarem Volumen: Größere Abstände als der Spulenradius R vergrößern das Experimentiervolumen, führen aber zu zur Spulenmitte hin abfallenden Feldstärkewerten. Kleinere Abstände erzeugen größere Feldstärken, verkleinern jedoch das Experimentiervolumen.

Magnetische Flussdichte auf der Achse

Die magnetische Flussdichte einer Helmholtz-Spule ist die Summe der Flussdichten der beiden kreisförmigen Leiterschleifen. Grundlage ist das Biot-Savart-Gesetz. Abseits der Symmetrieachse führt die Berechnung auf analytisch nicht lösbare elliptische Integrale. Auf der Symmetrieachse lässt sich das Feld dagegen direkt angeben.

Für eine einzelne Leiterschleife, die um z₀ zentriert ist, gilt:

B⃗Schleife(z) = (μ₀I/2) · R²/[R² + (z − z₀)²]³ᐟ² · e⃗z.

Dabei ist μ₀ die magnetische Feldkonstante, R der Spulenradius, I die Spulenstromstärke und e⃗z der Einheitsvektor in z-Richtung. Betrachtet man nur den Betrag, kann e⃗z weggelassen werden.

Für ein Spulenpaar mit gleichsinnigen Strömen, gleicher Windungszahl N je Spule und Abstand d ergibt sich:

B⃗(z) = (μ₀NI/2) · [R²/[R² + (z − d/2)²]³ᐟ² + R²/[R² + (z + d/2)²]³ᐟ²] · e⃗z.

Wegen der Symmetrie ist die Flussdichte im Zentrum z = 0 eine gerade Funktion. Daher verschwinden dort alle Ableitungen ungerader Ordnung nach z. In linearer Näherung ist das Feld im Zentrum deshalb für beliebige Spulenabstände d konstant. Die besondere Helmholtz-Bedingung besteht darin, dass zusätzlich die zweite Ableitung verschwindet:

(d²/dz² B⃗(z))|z=0 = 0.

Diese Bedingung ist genau für d = R erfüllt. Um das Zentrum herum variiert die Feldstärke dann erst in vierter Ordnung:

B⃗(z) = B⃗(0) + O⃗(z⁴).

Die Flussdichte im Zentrum lautet:

B⃗(0) = (8/√125) · (μ₀NI/R) · e⃗z.

Beispiel aus dem Artikel: Eine Helmholtz-Spule mit R = d = 1 m und NI = 1 A erzeugt eine zentrale Flussdichte von B(0) = 0,899 μT.

Induktivität der Spulen

Für die beiden in Reihe geschalteten Spulenteile wird wegen der symmetrischen Anordnung angesetzt:

L = 2 · L₁₁ + 2 · L₁₂.

L₁₁ ist die Selbstinduktivität einer einzelnen Teilspule. L₁₂ ist die Gegeninduktivität, die aus der magnetischen Kopplung der beiden Spulenteile entsteht und auf beide gleich wirkt.

Da es sich um kurze Zylinderspulen handelt, wird für die Selbstinduktivität die Näherungsformel verwendet:

L₁₁ = N² · μ₀πR²/(l + 2R/2,2).

Dabei bezeichnet l die Länge einer Zylinderspule. Die Gegeninduktivität wird für diese Anordnung mit dem Neumann-Kurvenintegral berechnet. Nach der Integration ergibt sich:

L₁₂ = 4,941 · N² · (μ₀/4π) · R.

Damit lautet die Gesamtinduktivität der Helmholtz-Spule:

L = 2 · N² · R · μ₀ · (πR/(l + 2R/2,2) + 4,941/(4π)).

Bei gegensinniger Stromrichtung, also bei einer Anti-Helmholtz-Spule, wird die Gegeninduktivität wegen der destruktiven Überlagerung der Magnetfelder negativ berücksichtigt:

L = 2 · N² · R · μ₀ · (πR/(l + 2R/2,2) − 4,941/(4π)).

Varianten und homogenere oder gradientenförmige Felder

In der Praxis können die runden Einzelspulen durch quadratische Leiterschleifen mit der Kantenlänge a ersetzt werden. Der ideale Abstand beträgt dann d = 0,5445a. Dieser Abstand ist etwas größer als bei einer runden Helmholtz-Spule mit Durchmesser a, weil die quadratische Spule eine größere Fläche besitzt.

Der homogene Feldbereich der klassischen Helmholtz-Spule ist im Verhältnis zu ihren Gesamtabmessungen klein. Zur Verbesserung wurden weitere Anordnungen entwickelt:

• Die Maxwell-Spule besteht aus drei Einzelspulen. Die mittlere Spule hat einen größeren Durchmesser und wird von einem größeren Strom durchflossen.
• Die Braunbek-Spule besteht aus vier Einzelspulen; die inneren Spulen besitzen größere Durchmesser. Sie ist eine optimierte Version der Fanselau-Spule.
• Die Barker-Spule besteht aus vier Einzelspulen gleichen Durchmessers. Durch die äußeren Spulen fließt ein größerer Strom.

Diese Anordnungen verbessern das Verhältnis zwischen Gesamtgröße und Volumen des homogenen Feldes. Dadurch steigt auch die Effizienz, weil sich die Stromwege verkürzen. Die Barker-Spule wird in Kernspintomografen eingesetzt. Die Braunbek-Spule dient in geomagnetischen Laboren zur Kompensation des Erdmagnetfelds und zur Simulation extraterrestrischer Felder, unter anderem zum Test von Raumfahrzeugen. Durch die Kompensation äußerer Felder lassen sich außerdem magnetfeldfreie Räume schaffen, etwa zum Testen von Magnetometern.

Bei gegensinnigem Stromfluss ist das Feld im Zentrum null. In der Umgebung steigt es in Achsenrichtung linear an; die Anordnung erzeugt somit ein Gradientenfeld. Der Artikel bezeichnet diese Anordnung als Maxwell-Spule, manchmal auch als Anti-Helmholtz-Spule. Der optimale Abstand hängt von den gewünschten Feldeigenschaften ab. Für den maximalen Feldgradienten im Zentrum gilt d = R. Für einen möglichst homogenen Gradienten, bei dem die zweite und dritte Ableitung der Feldstärke verschwinden, gilt dagegen d = √3R; die Gradientenstärke ist dann ungefähr 25 % kleiner.

Für gleiche Windungszahlen N lautet der Feldverlauf:

B(z) = (μ₀NI/2) · [R²/[R² + (z − d/2)²]³ᐟ² − R²/[R² + (z + d/2)²]³ᐟ²].

Bei d = R ist der Feldgradient im Zentrum:

dB/dz = √(2304/3125) · μ₀NI/R² ≈ 0,8587 · μ₀NI/R².

Bei d = √3R gilt:

dB/dz = √(6912/16807) · μ₀NI/R² ≈ 0,6413 · μ₀NI/R².

Anwendungen und Darstellungen

Helmholtz-Spulen werden häufig in physikalischen Experimenten eingesetzt. Genannt werden die Bestimmung der spezifischen Elektronenladung nach Helmholtz mit einem Fadenstrahlrohr, die Qualitätskontrolle von Dauermagneten, Untersuchungen zum Hall-Effekt, die Herstellung feldfreier Räume durch gezielte Abschirmung des Erdmagnetfelds sowie die Kalibrierung von Magnetfeldsonden und Magnetometern.

Weitere Anwendungen sind Hochfrequenz-Spulen für die Magnetresonanztomographie (MRT) und Gradientenspulen, insbesondere Maxwell-Spulen, für die MRT. Außerdem wird Magnetfeldtherapie genannt; der Artikel bezeichnet diese angebliche Behandlungsmethode als bewiesen unwirksam.

Die Bildgalerie enthält gemessene oder berechnete Darstellungen der Feldlinien, des mit Eisenfeilspänen sichtbar gemachten Magnetfelds, des berechneten Magnetfelds, der magnetischen Flussdichte entlang der Achse durch das Spulenzentrum und des Betrags der Flussdichte als Ortsfunktion in einer durch das Zentrum gehenden Schnittebene. Zusätzlich wird der Feldstärkeverlauf einer Maxwell-Spule beim optimierten Abstand d = √3R zusammen mit den Einzelfeldern in willkürlichen Einheiten gezeigt.