Erster Hauptsatz der Thermodynamik

Grundidee und Energiebilanz im geschlossenen System

Der Erste Hauptsatz der Thermodynamik beschreibt die Energieerhaltung in thermodynamischen Systemen. Die Energie eines abgeschlossenen Systems bleibt konstant: Energie kann weder aus dem Nichts erzeugt noch vernichtet werden. Verschiedene Energieformen können sich jedoch ineinander umwandeln. Mechanische Arbeit und Wärme können beispielsweise ineinander umgewandelt werden.

Jedes System besitzt eine innere Energie U. Sie ist eine extensive Zustandsgröße, hängt also vom Zustand des Systems ab. Die innere Energie kann sich nur ändern, wenn Energie in Form von Arbeit W und/oder Wärme Q über die Systemgrenze transportiert wird. Für ein ruhendes geschlossenes System gilt:

dU = δQ + δW

W ist die Summe aus Volumenarbeit und der im System dissipierten Arbeit, zum Beispiel Reibungsarbeit. Das Zeichen δ kennzeichnet ein unvollständiges Differential: Wärme Q und Arbeit W sind Prozessgrößen und hängen vom Weg des Vorgangs ab. Das Zeichen d kennzeichnet ein vollständiges Differential; die innere Energie U ist eine Zustandsgröße.

Bei einem bewegten System müssen zusätzlich die äußeren Energien Ea berücksichtigt werden. Dazu gehören potentielle und kinetische Energie. Dann lautet die Energiebilanz:

dU + dEa = δQ + δW

Aus der Energieerhaltung folgt, dass ein Perpetuum mobile erster Art unmöglich ist. Kein System kann dauerhaft Arbeit verrichten, ohne dass ihm eine andere Energieform zugeführt wird und/oder seine innere Energie abnimmt. Eine Einschränkung, in welchem Umfang Wärme in Arbeit umgewandelt werden kann, ergibt sich erst aus dem Zweiten Hauptsatz der Thermodynamik.

Offene Systeme und Enthalpie

In einem offenen System können zusätzlich zur Arbeit an einer verschiebbaren Systemgrenze Massenströme über die Systemgrenze ein- und austreten. Bei einer Volumenänderung entsteht beispielsweise am Kolben eines Zylinders Volumenänderungsarbeit. Auch die Massenströme benötigen Verschiebearbeit am Ein- und Austritt. Diese Arbeit ist das Produkt aus Druck und Volumen.

Deshalb wird bei offenen Systemen statt der alleinigen inneren Energie die Enthalpie H beziehungsweise die spezifische Enthalpie h verwendet. Sie enthält den Druck-Volumen-Term:

H = U + p · V beziehungsweise h = u + p · v

Für ein instationäres offenes System, bei dem sich Masse und Energieinhalt zeitlich ändern, lautet die Bilanzgleichung:

dE_sys/dt = Σ Q̇_i + Σ Ẇ_t,j + Σ ṁ_e · (h_e + g · z_e + ½c_e²) − Σ ṁ_a · (h_a + g · z_a + ½c_a²)

Dabei ist dE_sys/dt die zeitliche Änderung der inneren Energie des Systems. Q̇_i bezeichnet den Wärmestrom über die Systemgrenze, Ẇ_t,j den Arbeitsstrom beziehungsweise die technische Arbeit über die Systemgrenze. ṁ_e ist der Massenstrom in das System, ṁ_a der Massenstrom aus dem System.

h ist die spezifische Enthalpie. Der Term g · z beschreibt die spezifische potentielle Energie; z ist die Höhe über dem Bezugsniveau und g die Erdbeschleunigung. Der Term ½c² beschreibt die spezifische kinetische Energie; c ist die Geschwindigkeit.

Stationäre und adiabate Prozesse

Für ein offenes stationäres System betrachtet man einen kleinen Zeitraum Δt. In dieser Zeit strömt die Masse Δm mit dem Zustand 1 in das System und verlässt es im Zustand 2 wieder. Der Massenstrom beträgt Δm/Δt. Die Verschiebearbeiten am Eintritt und Austritt sind jeweils in der Enthalpie enthalten.

Für ein geschlossenes System gilt ṁ_e = ṁ_a = 0. Bei einem stationären Prozess sind Ein- und Austrittsmassenstrom gleich:

ṁ_e = ṁ_a = ṁ

gleichzeitig gilt dE_sys/dt = 0. Die Energiebilanz lautet dann:

Q̇ + Ẇ_t + ṁ · (h_e − h_a + g · z_e − g · z_a + ½c_e² − ½c_a²) = 0

Äquivalent kann man schreiben:

Q̇ + Ẇ_t = ṁ · (h_a − h_e + Δe_a)

Δe_a fasst die Änderung der äußeren Energien, also der potentiellen und kinetischen Energie, zusammen.

Ist der Prozess zusätzlich adiabat, findet also kein Wärmeaustausch statt, gilt beispielsweise für eine Dampfturbine Q̇ = 0. Dann ist die Leistung:

P = ṁ · (h_a − h_e + Δe_a)

P bezeichnet die Wellenleistung der Maschine. Nach der thermodynamischen Vorzeichenkonvention sind vom System abgegebene Energien negativ; deshalb wird die Leistung einer Turbine in dieser Gleichung negativ. In der Praxis wechselt man dafür meist das Vorzeichen. Bei vereinfachten Rechnungen werden die äußeren Energien häufig vernachlässigt. Dann kann die spezifische Leistung bei bekannten Eintritts- und Austrittszuständen direkt als Ordinatendifferenz aus dem h-s-Diagramm abgelesen werden.

Kreisprozesse und Wirkungsgrad

Ein Kreisprozess kann als geschlossenes, inhomogenes System betrachtet werden, über dessen Grenze nur Wärme und Arbeit fließen. Als Beispiel nennt der Artikel einen Gasturbinenprozess mit Wärmeübertragern.

Nach einem vollständigen Kreisprozess kehrt das Arbeitsmedium in seinen Ausgangszustand zurück. Daher verschwinden die zeitlichen Änderungen der Zustandsgrößen aus der Bilanz; übrig bleiben die Prozessgrößen Wärme und Arbeit. Die einfache Bilanzgleichung lautet:

W_Kr = −∮δQ

Das Kreisintegral summiert alle Wärmeströme. Wärme ist positiv, wenn sie in das System eintritt, und negativ, wenn sie das System verlässt. W_Kr ist die gesamte Arbeit des Zyklus und nach der verwendeten Vorzeichenkonvention negativ, wenn Arbeit abgegeben wird.

Mit den Wärmebeträgen kann die Beziehung auch so geschrieben werden:

W_Kr = Q_zu − |Q_ab|

Damit wird deutlich, dass bei einem Kreisprozess Wärme zugeführt und Wärme abgeführt wird. Nach dem Zweiten Hauptsatz kann nicht die gesamte zugeführte Wärme in Arbeit umgewandelt werden; ein Teil muss als Wärme an die Umgebung abgegeben werden.

Der thermische Wirkungsgrad einer Kraftmaschine ist definiert als:

η_th = (Q_zu − |Q_ab|) / Q_zu

Er setzt den Nutzen, also die Kreisprozessarbeit, ins Verhältnis zum Aufwand, der zugeführten Wärme. Diese wird meist durch Brennstoff erzeugt. Die abgeführte Wärme wird bei technischen Realisierungen in der Regel von der Umgebung aufgenommen.