Elektrische Stromdichte

Begriff und Bedeutung

Die elektrische Stromdichte beschreibt, wie dicht zusammengedrängt ein elektrischer Strom durch eine Fläche fließt. Sie kennzeichnet damit auch die elektrische und thermische Belastung eines Leiters. Gebräuchliche Formelzeichen sind J⃗, j⃗ und S⃗. Die Stromdichte ist eine vektorielle Größe: Sie besitzt also einen Betrag und eine Richtung. Ihre SI-Einheit ist A/m².

Grundsätzlich ist die Stromdichte das Verhältnis der Stromstärke I zur verfügbaren Querschnittsfläche A, wenn der Strom senkrecht durch diese Fläche tritt. Anders als die Stromstärke kann sie auch angeben, wie sich ein Strom örtlich über einen Querschnitt verteilt. Das ist besonders bei nicht homogenen Strömungsfeldern wichtig, etwa bei Gasentladungen, Elektronenstrahlen, Elektroden und Glühkathoden.

Definition und Ladungsträger

Allgemein erhält man die Stromstärke durch Integration der Stromdichte über die durchströmte Fläche:

I = ∫ₐ J⃗ · dA⃗

Der Vektor dA⃗ steht senkrecht auf dem jeweiligen Flächenelement. Ist die Stromdichte gleichmäßig über den Querschnitt verteilt, beispielsweise bei Gleichstrom in einem metallischen Leiter, gilt I = J⃗ · A⃗. Wird die Fläche senkrecht durchströmt, vereinfacht sich dies zu I = J·A beziehungsweise J = I/A.

Die Stromdichte lässt sich außerdem durch die Bewegung der Ladungsträger ausdrücken. Dabei ist n die Ladungsträgerdichte, also die Anzahl der Ladungsträger pro Volumen, e die Ladung eines einzelnen Ladungsträgers mit e = 1,60·10⁻¹⁹ As und ρ = n·e = dQ/dV die Raumladungsdichte. Die mittlere Driftgeschwindigkeit v = dx/dt beschreibt die gerichtete Bewegung der Ladungsträger; für die Stromstärke gilt I = dQ/dt.

Bei gleichmäßiger Verteilung folgt:

J = I/A = ρ·v

In Vektorform gilt:

J⃗ = ρ·v⃗ = n·e·v⃗

Die Richtung der Stromdichte stimmt mit der Bewegungsrichtung positiver Ladungsträger überein.

Verwendung in Berechnungen

In der praktischen Elektrotechnik rechnet man meist mit der Stromstärke. Das ohmsche Gesetz wird dort beispielsweise als I = G·U geschrieben. G = 1/R ist der elektrische Leitwert, R der Widerstand und U die elektrische Spannung.

In der theoretischen Elektrotechnik wird dagegen häufig die vektorielle Stromdichte verwendet. Die entsprechende Form des ohmschen Gesetzes lautet:

J⃗ = σ·E⃗

Dabei bezeichnet σ die elektrische Leitfähigkeit und E⃗ die elektrische Feldstärke. Die Stromdichte wird außerdem in den Maxwell-Gleichungen und in der Kontinuitätsgleichung der Elektrodynamik verwendet.

Stromdichte in Leitungen

Die Stromdichte in einem Leiter bestimmt wesentlich dessen Erwärmung. Als grober Richtwert sollte sie je nach Anwendung unter Dauerlast 1,2 bis 6 A/mm² nicht überschreiten. Im Extremfall kann sie bis zur Schmelzstromdichte steigen; bei Kupfer beträgt diese 3,06 kA/mm². Schmelzsicherungen und einige andere Überstromschutzeinrichtungen nutzen die dabei entstehende Erwärmung gezielt, um einen überlasteten Stromkreis zu unterbrechen.

Für Kupferleiter werden nach VDE unter anderem folgende maximal zulässige Stromstärken angegeben:

• 12 A bei 0,75 mm² Querschnittsfläche • 15 A bei 1,0 mm² • 26 A bei 2,5 mm²

Die tatsächlichen Grenzwerte können je nach Verlegeart und Temperaturbereich abweichen. In Nordamerika wird die maximal zulässige Strombelastbarkeit elektrischer Leitungen unter anderem mit der Methode von Neher-McGrath bestimmt, die im National Electrical Code (NEC) als Referenz verwendet wird.

Bei gleichmäßig verteilter Stromdichte ist die mittlere Driftgeschwindigkeit v = J/(n·e). Die typische Elektronendichte für Leitungselektronen in metallischen Festkörpern liegt bei ungefähr n = 10²⁸ m⁻³. Bei Wechselstrom ist zusätzlich der Formfaktor k_f zu berücksichtigen; für einen Sinusverlauf gilt k_f = 1,11. Bei einer Stromdichte von 6 A/mm² ergibt sich für die gerichtete Bewegung eine mittlere Geschwindigkeit in der Größenordnung von 10⁻³ m/s. Die hohe Geschwindigkeit elektrischer Nachrichtenübertragung entsteht daher nicht durch eine entsprechend schnelle Verschiebung der Elektronen im Draht.

Bei Wechselstrom ist die Stromdichte über den Leiterquerschnitt wegen des Skin-Effekts und des Proximity-Effekts nicht homogen verteilt.

Weitere Anwendungen und verwandte Größen

In der Galvanotechnik wird die Stromdichte für das Beschichten von Oberflächen eingestellt. Typische Werte liegen zwischen 0,5 und 5 A/dm². Sie müssen eingehalten werden, damit beispielsweise beim Verzinken oder Vernickeln gute Ergebnisse entstehen.

Bei Solarzellen wird häufig zunächst die Leistungsdichte angegeben. Sie kann sehr grob bis 250 W/m² betragen. Da die Spannung bei maximaler Leistung bei gebräuchlichen Zellen etwa 0,5 V beträgt, kann sich eine Stromdichte bis 500 A/m² ergeben. Auch Brennstoffzellen werden in Abhängigkeit von ihrer Stromdichte untersucht; in besonders günstigen Fällen erreicht sie etwa 1 A/cm².

Analog zur Stromdichte in einem dreidimensionalen Körper kann ein Strom auf eine zweidimensionale Fläche bezogen werden. Diese Flächenstromdichte K ist beispielsweise zur Beschreibung der Oberflächenleitung beziehungsweise des Kriechstroms auf elektrischen Isolatoren sinnvoll. Wird der Gesamtstrom I auf die Breite b der Fläche bezogen, gilt:

K = I/b

Eine elektrische Stromstärke kann außerdem als Summe mehrerer Linienströme betrachtet werden, die in einem Punkt zusammentreffen:

I(P) = Σₗ Iₗ

Aus dieser Betrachtung folgt auch die erste Kirchhoffsche Regel.