Einsetzungsverfahren

Grundidee des Einsetzungsverfahrens

Das Einsetzungsverfahren, auch Substitutionsverfahren, ist ein Verfahren zum Lösen von Gleichungssystemen. In der Schulmathematik wird es neben Gleichsetzungs- und Additionsverfahren besonders bei linearen Gleichungssystemen mit zwei Variablen verwendet.

Eine Gleichung wird nach einer Variablen aufgelöst. Den erhaltenen Term setzt man in die andere Gleichung beziehungsweise die anderen Gleichungen ein. Dadurch wird diese Variable eliminiert, also aus der Gleichung entfernt. Oft lassen sich so schrittweise alle Variablen bis auf eine beseitigen. Nachdem diese letzte Gleichung gelöst wurde, bestimmt man die übrigen Variablen durch Rücksubstitution: Die gefundenen Werte werden wieder in vorher umgeformte Gleichungen eingesetzt.

Lineares Gleichungssystem mit zwei Unbekannten

Für ein lineares Gleichungssystem mit zwei Gleichungen und zwei Unbekannten liefert das Verfahren immer die Lösung, falls diese existiert und eindeutig ist:

• Eine der beiden Gleichungen nach einer Variablen auflösen.
• Den dabei erhaltenen Term in die andere Gleichung einsetzen.
• Die daraus entstandene Gleichung nach der verbliebenen Variablen lösen.
• Diesen Wert in die zuerst umgeformte Gleichung einsetzen, um die zweite Variable zu bestimmen.

Beispiel eines linearen Systems

Gegeben sind die Gleichungen 12x - 5y = 29 und 18x + 2y = 34. Die zweite Gleichung wird nach y aufgelöst:

y = 17 - 9x.

Dieser Term wird für y in die erste Gleichung eingesetzt:

12x - 5 · (17 - 9x) = 29.

Die entstehende lineare Gleichung mit nur einer Variablen ergibt x = 2. Durch Rücksubstitution folgt:

y = 17 - 9 · 2 = -1.

Die Lösungsmenge lautet L = {(2; −1)}.

Nichtlineare Gleichungssysteme

Bei nichtlinearen Gleichungssystemen gibt es keinen Algorithmus, der stets alle Lösungen liefert. Im Allgemeinen können solche Systeme nur numerisch gelöst werden. In einfachen Fällen kann das Einsetzungsverfahren aber genauso angewendet werden wie bei linearen Systemen.

Für x + y = 3 und x · y = 2 wird aus der zweiten Gleichung unter der Voraussetzung x ≠ 0:

y = 2/x.

Einsetzen in die erste Gleichung liefert x + 2/x = 3. Nach Multiplikation mit x und Subtraktion von 3x entsteht die quadratische Gleichung x² - 3x + 2 = 0. Ihre Lösungen sind x₁ = 1 und x₂ = 2. Einsetzen in die Ausgangsgleichungen ergibt y₁ = 2 und y₂ = 1. Damit ist L = {(2; 1), (1; 2)}.