Additionsverfahren (Mathematik)

Grundidee und Einsatz

Das Additionsverfahren löst Gleichungssysteme, indem man Gleichungen addiert. Dabei werden die Terme auf den linken Seiten getrennt voneinander addiert und ebenso die rechten Seiten; daraus entsteht eine neue, gleichwertig nutzbare Gleichung.

Ziel ist meist, eine oder mehrere Unbekannte zu eliminieren, also zum Verschwinden zu bringen. Dafür multipliziert man Gleichungen bei Bedarf vorher mit geeigneten Zahlen, sodass sich die Koeffizienten einer Variablen beim Addieren aufheben. In der Schulmathematik wird das Verfahren neben Einsetzungs- und Gleichsetzungsverfahren besonders für lineare Gleichungssysteme mit zwei Variablen verwendet. Auch das Gaußsche Eliminationsverfahren für allgemeine lineare Gleichungssysteme beruht darauf.

Warum das Addieren erlaubt ist

Gleichungen lassen sich als ausgeglichene Waagen deuten. Bei

5x+3y=5 2x-3y=2

sind beide Waagen im Gleichgewicht. Legt man jeweils die linken Schalen zusammen, müssen auch die zusammengelegten rechten Schalen gleich schwer sein. Daher darf man addieren:

(5x+3y)+(2x-3y)=5+2.

Nach dem Zusammenfassen ergibt sich 7x+0=7 und damit x=1. Die y-Terme heben sich auf, weil 3y-3y=0 ist.

Auch das Multiplizieren einer Gleichung erhält das Gleichgewicht. Deshalb bedeutet (I)+3·(II): Gleichung (II) zuerst verdreifachen und danach addieren. Eine Subtraktion wie (I)-(II) ist gleichbedeutend damit, (II) zunächst mit (-1) zu multiplizieren und anschließend zu addieren.

Beispiel: lineares 2×2-Gleichungssystem

Gegeben sind

5x+3y=5 3x+y=-1.

Damit y eliminiert wird, multipliziert man die zweite Gleichung mit -3:

-9x-3y=3.

Durch Addition mit der ersten Gleichung erhält man

(5x-9x)+(3y-3y)=5+3, -4x=8, x=-2.

Diesen Wert setzt man in die erste Gleichung ein:

5·(-2)+3y=5.

Daraus folgt y=5. Die Lösungsmenge lautet ℒ={(-2|5)}.

Beispiel: nichtlineares Gleichungssystem

Das Verfahren kann auch bei nichtlinearen Gleichungssystemen eingesetzt werden, wenn sich passende Terme eliminieren lassen. Gegeben sind

x²+2y=9, -2x²+2y=6.

Man teilt die zweite Gleichung durch 2 und erhält -x²+y=3. Die Addition beider Gleichungen eliminiert x²:

3y=12, y=4.

Einsetzen in die erste Gleichung ergibt x²+8=9, also x²=1. Daher gibt es zwei Werte für x: x₁=1 und x₂=-1. Die Lösungsmenge ist ℒ={(-1;4),(1;4)}.