Gleichsetzungsverfahren

Grundidee und Anwendung

Das Gleichsetzungsverfahren löst Gleichungssysteme. In der Schulmathematik wird es neben Einsetzungs- und Additionsverfahren besonders für lineare Gleichungssysteme mit zwei Variablen verwendet. Es ist ein Spezialfall des Einsetzungsverfahrens und eignet sich besonders, wenn beide Gleichungen bereits nach derselben Variablen aufgelöst sind.

Man formt beide Gleichungen nach einer Variablen um, zum Beispiel nach y. Die so erhaltenen Terme werden gleichgesetzt. Dadurch entsteht eine Gleichung mit einer Variablen weniger. Nach dem Lösen setzt man den gefundenen Wert oder die gefundenen Werte in eine Ausgangsgleichung ein und berechnet die zugehörige andere Variable.

Lineares Gleichungssystem

Gegeben sind

• 3x + y = -1
• -2x + y = 4

Nach y aufgelöst lautet dies:

• y = -1 - 3x
• y = 4 + 2x

Da beide Terme y darstellen, gilt -1 - 3x = 4 + 2x. Durch Termumformungen erhält man x = -1. Einsetzen liefert y = 2. Die Lösung des Gleichungssystems ist (-1; 2).

Nichtlineares Gleichungssystem

Gegeben sind

• y = x - 1
• y = -x² + 8x - 11

Die rechten Seiten werden gleichgesetzt: x - 1 = -x² + 8x - 11. In Normalform ergibt sich x² - 7x + 10 = 0. Diese quadratische Gleichung hat die Lösungen x₁ = 2 und x₂ = 5 (siehe pq-Formel).

Durch Einsetzen erhält man die zugehörigen y-Werte y₁ = 2 und y₂ = 1. Als Lösungsmenge ist angegeben: ℒ = {(2; 1), (5; 4)}.