Doppelspaltexperiment

Grundprinzip und Bedeutung

Beim Doppelspaltexperiment treffen kohärente Wellen, beispielsweise Licht- oder Materiewellen, auf zwei schmale, parallele Spalte. Kohärent bedeutet, dass die Wellen eine feste Phasenbeziehung zueinander besitzen. Hinter dem Doppelspalt werden die Wellen auf einem Beobachtungsschirm aufgefangen, dessen Abstand zum Doppelspalt sehr viel größer ist als der Abstand der beiden Spalte.

An den Spalten werden die Wellen gebeugt und überlagern sich anschließend. Dabei entsteht ein Interferenzmuster aus Bereichen verstärkter und abgeschwächter Intensität. Bei einer einheitlichen Wellenlänge, etwa beim monochromatischen Licht eines Lasers, erscheinen auf dem Schirm abwechselnd helle und dunkle Streifen. Die hellen Streifen heißen Maxima, die dunklen Minima. Dieses Muster entsteht, wenn der Abstand der beiden Spalte nicht kleiner als die Wellenlänge ist.

Das Doppelspaltexperiment gehört zu den Schlüsselexperimenten der Physik. Es bestätigte zunächst die Wellentheorie des Lichts. In der Quantenphysik zeigt es den Welle-Teilchen-Dualismus: Licht und Materie können je nach Beschreibung sowohl Welleneigenschaften als auch Teilcheneigenschaften zeigen.

Geschichte und Einsatz im Unterricht

Thomas Young führte das Experiment mit Licht in den Jahren 1801 bis 1803 durch und veröffentlichte seine Ergebnisse 1803. Er verwendete noch keinen klassischen Doppelspalt, sondern teilte einen Lichtstrahl mithilfe von Pappkarten. Sein Ziel war der Nachweis der Wellennatur des Lichts. Das Experiment trug dazu bei, die Wellentheorie gegenüber der damals vorherrschenden Korpuskeltheorie des Lichts anzuerkennen. Young verwies außerdem auf frühere Untersuchungen von Francesco Maria Grimaldi, der bereits 1665 den Begriff der Diffraktion, also der Beugung, eingeführt hatte.

Das Experiment wird im Physikunterricht genutzt, um Beugung und Interferenz anschaulich zu erklären. Mit einfacher Geometrie und Algebra lässt sich herleiten, wie die Interferenzstreifen entstehen und welche Stärke sie besitzen. Demonstrationen mit Wasserwellen in einem Wellentrog werden unter anderem in den Lehrbüchern von Robert Wichard Pohl beschrieben und auch per Video gezeigt, beispielsweise von der ETH Zürich. Die Beugung von Licht am Doppelspalt ist außerdem ein Standardversuch in Physikpraktika.

Gedankenexperimente zum Doppelspalt, etwa in den Feynman-Vorlesungen über Physik, dienen häufig als Einstieg in die Quantenphysik. Sie verdeutlichen, dass einzelne Elektronen oder Atome auf dem Schirm jeweils punktförmige Signale erzeugen, ihre Gesamtheit jedoch ein Interferenzmuster bildet. Wellentheorie und Teilchentheorie müssen daher gemeinsam verwendet werden, da keine von beiden allein alle Beobachtungen erklärt. Materiewellen sind experimentell schwer zu untersuchen, weil ihre Wellenlängen sehr klein sind. Bei Jönssons Elektronen betrug die Wellenlänge 5 pm, also etwa ein Hundertstel der typischen Ausdehnung eines Atoms.

Beobachtungen und Quantenphänomene

Für sichtbare Interferenzstreifen ist eine feste Phasenbeziehung der beiden Wellen erforderlich. Ausreichende räumliche Kohärenz liegt vor, wenn die Breite der Quelle aus Sicht des Doppelspaltes nicht aufgelöst werden kann; bei Young war die Quelle ein Eintrittsspalt. Diese Bedingung wird im Artikel mit dem Rayleigh-Kriterium verbunden. Die notwendige zeitliche Kohärenz hängt davon ab, wie viele Streifen neben dem zentralen Streifen sichtbar sein sollen.

Wird die Apparatur so ergänzt, dass festgestellt werden kann, durch welchen Spalt ein Teilchen den Detektor erreicht, verschwinden die Interferenzstreifen. Bei Photonen kann die Welcher-Weg-Information beispielsweise durch Polarisationsfilter erzeugt werden: Vor jedem Spalt befindet sich ein Filter, wobei die Polarisationsebenen zueinander orthogonal sind. Die Polarisation des Photons legt dann den Weg fest, und auf dem Schirm tritt keine Interferenz auf.

Die Interferenz verschwindet auch dann, wenn die Messergebnisse nicht abgelesen werden. Es genügt, dass die Welcher-Weg-Information physikalisch vorhanden sein könnte. Ist es dagegen physikalisch unmöglich, den genommenen Spalt herauszufinden, entsteht immer ein Interferenzmuster. Das gilt auch, wenn erst nach dem Durchgang durch die Spalte entschieden wird, ob die Weg-Information festgehalten wird. Wird sie nicht ermittelt, kann das als nachträgliches Löschen oder „Ausradieren“ der Information verstanden werden; ein solcher Aufbau heißt Quantenradierer.

Die Form des Interferenzmusters hängt nicht davon ab, wie viele Teilchen beteiligt sind oder ob sie gleichzeitig durch den Doppelspalt gehen. Bei niedriger Intensität entsteht das Muster lediglich langsamer. Es bildet sich sogar dann in derselben Form, wenn sich zu jedem Zeitpunkt höchstens ein Teilchen zwischen Quelle und Detektor befindet. Die Wahrscheinlichkeitsverteilung der Ankunftsorte muss daher bei jedem einzelnen Durchflug entstehen. Dies wird als Interferenz der Teilchen mit sich selbst beschrieben.

Berechnung des Interferenzmusters

Für die Berechnung wird eine ebene Welle betrachtet, die senkrecht auf einen Doppelspalt fällt. Die Wellenlänge beträgt λ, die Spaltbreite b und der Spaltmittenabstand a. In der Spaltebene sind die Wellen noch im Gleichtakt. Der für die Interferenz entscheidende Phasenunterschied entsteht durch die unterschiedlichen Wege s von Punkten in den Spaltöffnungen zum Beobachtungspunkt. Der Schirmabstand d muss für die Fernfeldnäherung die Bedingung d ≫ a²/λ erfüllen.

Ein Intensitätsminimum liegt dort, wo der Gangunterschied Δs von den Spaltmitten ein ungerades Vielfaches der halben Wellenlänge beträgt: Δs = (±1/2, ±3/2, ±5/2, …) · λ. Die beiden Teilwellen sind dann gegenphasig und löschen sich aus. Das gilt auch, wenn die Spaltbreite nicht klein gegenüber der Wellenlänge ist. Zu jedem Punkt des einen Spalts gibt es dann im Abstand a einen Punkt des anderen Spalts, von dem die Welle gegenphasig ankommt.

Maxima liegen ungefähr in der Mitte zwischen den Minima. Dort gilt für den Gangunterschied Δs = (0, ±1, ±2, … ±n) · λ; die Interferenz ist konstruktiv. Bei höheren Beugungsordnungen n nimmt die maximale Intensität ab, weil die konstruktive Interferenz zwar paarweise zwischen den beiden Spalten gilt, nicht aber für die gesamte Variation der Punktposition innerhalb eines Spalts.

Der Zusammenhang zwischen Gangunterschied und Schirmposition x lautet arcsin(Δs/a) = arctan(x/d). Für kleine Winkel gilt näherungsweise Δs/a = x/d. Ist der Schirmabstand groß gegenüber dem Spaltabstand, beträgt die Periode des Streifenmusters λ · d/a.

Intensitätsverteilung und Einfluss der Parameter

Jeder einzelne Spalt erzeugt bereits ein Beugungsmuster. Für bestimmte Beobachtungswinkel α können sich beispielsweise die Wellen aus der oberen und unteren Hälfte eines Spalts der Breite b gegenseitig aufheben. Das Muster des Doppelspalts ist deshalb das Produkt aus dem Beugungsmuster eines Einzelspalts und dem Interferenzmuster zweier punktförmiger Quellen im Abstand a.

Die Intensitätsverteilung lautet: I(α) = I₀ (sin γ/γ)² cos² δ. Dabei ist γ = (k/2)b sin α der Phasenunterschied zwischen den Wellen vom oberen und unteren Rand eines Spalts. δ = (k/2)a sin α ist der Phasenunterschied zwischen den beiden Teilwellen aus den beiden Spalten. α bezeichnet den Beobachtungswinkel, b die Spaltbreite, a den Spaltabstand und k = 2π/λ die Wellenzahl.

Setzt man γ und δ ein, ergibt sich: I(α) = I₀ · [sin((k/2)b sin α)/((k/2)b sin α)]² · cos²((k/2)a sin α), mit k = 2π/λ.

Die Spaltbreite b bestimmt vor allem die Beugungshüllkurve, also die Intensitätsverteilung, die auch bei nur einem geöffneten Spalt auftreten würde. Je breiter der Spalt ist, desto enger wird diese Hüllkurve. Der Spaltabstand a verändert die Lage der Doppelspalt-Extrema innerhalb der Hüllkurve: Je größer a ist, desto enger liegen die Interferenzmaxima und -minima beieinander. Eine Änderung der Wellenlänge λ beeinflusst sowohl die Hüllkurve als auch die Doppelspalt-Intensitätsverteilung. Je größer λ ist, desto breiter werden die Hüllkurve und die Abstände der Interferenzstreifen.

Doppelspalt mit Elektronen und Atomen

Das Experiment wurde auch mit Elementarteilchen, Atomen und Molekülen durchgeführt. Die dabei auftretenden Interferenzmuster zeigen, dass materielle Körper Welleneigenschaften besitzen. Die zugehörige Wellenlänge heißt De-Broglie-Wellenlänge.

Claus Jönsson führte 1961 ein Elektronen-Doppelspaltexperiment durch. Im Artikel wird zugleich angegeben, dass ihm bereits 1959 erstmals die Sichtbarmachung von Interferenzstreifen gelang. Er beschleunigte Elektronen durch eine Spannung von etwa U = 50 kV. Für den Impuls p ergab sich eine De-Broglie-Wellenlänge λ_dB von rund 0,05 Å beziehungsweise etwa 5 pm: p²/(2m) = h²/(2mλ_dB²) = eU ⇒ λ_dB = √(h²/(2meU)) ≈ 5 pm. Dabei sind h = 6,626·10⁻³⁴ Js die Planck-Konstante, m = 9,1·10⁻³¹ kg die Elektronenmasse und e = 1,6·10⁻¹⁹ As die Elektronenladung.

Da Elektronen keine transparenten Materialien durchdringen, mussten die Spalte vollständig materiefrei sein. Jönsson brachte deshalb in eine dünne Kupferfolie Doppelspalte mit Breiten von etwa 0,5 μm und Spaltabständen von etwa d ≈ 2 μm ein. Elektrostatische Linsensysteme kollimierten den Elektronenstrahl, damit eine ausreichende Kohärenz entstand. Die Beobachtungsebene lag etwa l = 30 cm hinter den Spalten. Der Streifenabstand betrug zunächst nur x ≈ 750 nm und folgte aus sin θ = λ/d = x/l, also x = (λ/d)l ≈ 750 nm. Elektrostatische Projektionslinsen vergrößerten das Muster etwa um den Faktor 100; anschließend konnte es mit einer 10-fach vergrößernden Einblickoptik beobachtet oder fotografiert werden. Die Apparatur war wegen der starken Vergrößerung empfindlich gegenüber Vibrationen und Störfeldern. Jönsson dokumentierte Interferenzmuster für Anordnungen mit ein bis fünf Spalten.

Auch Atome können mit ihrer De-Broglie-Wellenlänge λ_dB am Doppelspalt interferieren. Für kleine Winkel gilt für die Streifenperiode Δx: Δx = λ_dB · d/a, wobei a der Spaltenabstand und d der Abstand des Schirms vom Doppelspalt ist.

Ein Young-Doppelspaltexperiment mit Heliumatomen verwendete a = 8 μm und d = 0,64 m. Bei λ_dB = 103 pm wurde Δx = 8,4 μm ± 0,8 μm gemessen; der theoretische Wert betrug 8,2 μm. Bei λ_dB = 56 pm ergab sich Δx = 4,5 μm ± 0,6 μm. Angeregte Heliumatome wurden durch einen Quellenspalt der Breite s₁ = 2 μm in einer dünnen Goldfolie über den Winkel λ_dB/s₁ = 5·10⁻⁵ rad gebeugt, sodass der Doppelspalt im Abstand d = 0,64 m kohärent beleuchtet wurde. Helium eignet sich wegen seiner geringen Masse, der großen De-Broglie-Wellenlänge, seiner chemischen Trägheit, der gut etablierten Strahlerzeugung, der leichten Nachweisbarkeit metastabiler Atome und der einfachen Manipulierbarkeit durch Laserfelder.