Chemical Reaction Network Theory

Gegenstand und Ziel der CRNT

Die Chemical Reaction Network Theory (CRNT) untersucht das qualitative Verhalten der Konzentrationen im stationären Zustand eines chemischen Reaktionsnetzwerks, ohne die kinetischen Parameter zu benötigen. Sie stellt einen allgemeinen Zusammenhang zwischen der Struktur eines Netzwerks und der Menge der Fixpunkte des zugehörigen Systems gewöhnlicher Differenzialgleichungen her.

Besonders für eine Unterklasse chemischer Systeme kann CRNT algebraisch vorhersagen oder ausschließen, dass mehrere positive Steady states existieren. Ein positiver Steady state ist ein Konzentrationsvektor, bei dem sich die Konzentrationen zeitlich nicht ändern. Dadurch kann die Theorie Fragen beantworten, die mit einer einzelnen numerisch berechneten Lösung offenbleiben: Selbst wenn kinetische Parameter bekannt sind und ein Fixpunkt gefunden wurde, ist nicht automatisch klar, ob bei anderen Anfangskonzentrationen in derselben stöchiometrischen Kompatibilitätsklasse weitere Fixpunkte existieren.

Die Schwierigkeit entsteht unter anderem dadurch, dass die Differenzialgleichungen im Allgemeinen Polynome beliebigen Grades enthalten. Außerdem ist jeder Reaktion nach dem Massenwirkungsgesetz eine oft unbekannte oder ungenau bekannte Ratenkonstante zugeordnet. CRNT verwendet stattdessen den Strukturindex Defizienz. Für die Berechnung der Defizienz gilt in O-Notation O(1), wenn die Erstellung des chemischen Reaktionsnetzwerks in O(n) erfolgt.

Die ersten Grundlagen wurden von Horn und Jackson entwickelt und von Martin Feinberg und Mitarbeitern ausgearbeitet und weiterentwickelt.

Aufbau eines Reaktionsnetzwerks

CRNT behandelt Reaktionsnetzwerke, deren Reaktionsraten dem Massenwirkungsgesetz folgen. Reversible Reaktionen werden in zwei irreversible Reaktionen aufgeteilt, je eine für die Vorwärts- und die Rückwärtsrichtung. Ein Netzwerk wird durch vier Mengen beschrieben:

• Die Speziesmenge 𝒮 enthält die einzelnen Substrate und Produkte.
• Die Komplexmenge 𝒞 enthält die Gesamtheit der Spezies, die auf der linken oder rechten Seite von Reaktionen vorkommen. Komplexe sind Multimengen, sodass etwa {A,A} und {2A} dieselbe Bedeutung haben.
• Die Reaktionsmenge 𝓡 enthält alle betrachteten Reaktionen.
• Die Menge 𝒦 enthält die Ratenkonstanten aller Reaktionen.

Ein Komplex kann als Multimenge oder als Vektor aus ℕ^|𝒮| dargestellt werden. Für einen Komplex y bezeichnet y(s) den stöchiometrischen Koeffizienten der Spezies s. Bei einer festgelegten Ordnung der Spezies ist der Vektoreintrag y_s gleich y(s), falls s in y vorkommt, und 0 andernfalls.

Beispiel 1 ist die Reaktion A + A → B mit der Ratenkonstante k_{A+A→B}. Sie besitzt 𝒮={A,B}, 𝒞={{A},{A},{B}} beziehungsweise als Multimengen 𝒞={{A,A},{B}}, und als Vektoren 𝒞={[2,0]ᵀ,[0,1]ᵀ}. Weiter gilt 𝓡={A+A→B} und 𝒦={k_{A+A→B}}. Die Komplexmenge ist dabei besonders wichtig; zwei zu einer Reaktion gehörende Komplexe können als y,y′∈𝒞 mit y→y′∈𝓡 bezeichnet werden.

Wichtige Begriffe und Netzwerkstruktur

Es sei 𝔓={x∈ℝ | x>0} und 𝔓̄=𝔓∪{0}. Ein positiver Steady state liegt vor, wenn für den Konzentrationsvektor c gilt: dc/dt=0 und c∈𝔓.

Ein Reaktionsnetzwerk ist das Tripel (𝒮,𝒞,𝓡). Ein chemisches Reaktionsnetzwerk ist das Quadrupel (𝒮,𝒞,𝓡,𝒦), also ein Reaktionsnetzwerk mit einer positiven Ratenkonstanten für jede Reaktion.

Zwei Komplexe y und y′ sind direkt verlinkt, wenn eine Reaktion in mindestens einer Richtung zwischen ihnen existiert. Die daraus entstehende Zusammenhangsrelation zerlegt die Komplexe in Linkageklassen. In Beispiel 2 gelten die Reaktionen 2A→B, B→2A, B→C und 2C→2B. Es gibt n=5 Komplexe und l=2 Linkageklassen: 𝓛₁={{2A},{B},{C}} und 𝓛₂={{2B},{2C}}.

Eine starke Linkageklasse besteht aus Komplexen, zwischen denen jeweils ein gerichteter Weg in beide Richtungen existiert. In Beispiel 2 sind dies {2A,B}, {C}, {2B} und {2C}. Eine terminale starke Linkageklasse ist eine starke Linkageklasse, aus der kein Reaktionsweg zu einer anderen starken Linkageklasse führt. In Beispiel 2 sind {C} und {2B} terminal. Die späteren Aussagen zu Defizienz und Steady states setzen voraus, dass jede Linkageklasse genau eine terminale starke Linkageklasse enthält.

Ein Netzwerk heißt schwach reversibel, wenn jede Linkageklasse aus einer terminalen starken Linkageklasse besteht. Beispiel 2 ist nicht schwach reversibel.

Der stöchiometrische Unterraum S ist die lineare Hülle aller Reaktionsvektoren: S:=span({y−y′∈ℝ^|𝒮| | y→y′∈𝓡}). Er ist gleich dem Spaltenraum der stöchiometrischen Matrix N. Zwei Konzentrationsvektoren c,c′∈𝔓̄^|𝒮| heißen stöchiometrisch kompatibel, wenn c−c′∈S. Die entsprechenden Äquivalenzklassen heißen stöchiometrische Kompatibilitätsklassen. Die zeitliche Konzentrationstrajektorie bleibt stets in der Kompatibilitätsklasse ihrer Anfangskonzentration.

Defizienz und zentrale Theoreme

Die Defizienz δ eines Reaktionsnetzwerks ist definiert durch δ:=n−l−q. Dabei ist n die Anzahl der Komplexe, l die Anzahl der Linkageklassen und q der Rang der stöchiometrischen Matrix N.

Für Beispiel 2 lautet die stöchiometrische Matrix N=[[-2,2,0,0],[1,-1,-1,2],[0,0,1,-2]]. Ihr Rang ist q=2. Daher beträgt die Defizienz δ=5−2−2=1.

Das Deficiency-Zero Theorem betrachtet Netzwerke mit Defizienz Null. Ist ein solches Netzwerk nicht schwach reversibel, besitzt das zugehörige Differenzialgleichungssystem unabhängig von den kinetischen Ratenkonstanten weder einen positiven Steady state noch einen periodischen Orbit in 𝔓^|𝒮|. Ist es dagegen schwach reversibel, enthält jede positive stöchiometrische Kompatibilitätsklasse für jede Wahl der kinetischen Ratenkonstanten genau einen positiven Steady state. Dieser ist asymptotisch stabil; außerdem existieren keine nichttrivialen periodischen Orbits in 𝔓^|𝒮|.

Das Deficiency-One Theorem setzt für ein Netzwerk mit Defizienz δ voraus, dass für jede Linkageklasse 𝓛_i gilt: δ_{𝓛_i}≤1, dass die Summe der Linkageklassen-Defizienzen der Gesamtdifizienz entspricht, also Σ_{i=1}^l δ_{𝓛_i}=δ, und dass jede Linkageklasse nur eine terminale starke Linkageklasse enthält. Wenn das Differenzialgleichungssystem für eine Wahl der Ratenkonstanten einen positiven Steady state besitzt, gibt es genau einen positiven Steady state in jeder stöchiometrischen Kompatibilitätsklasse. Ist das Netzwerk schwach reversibel, existiert für jede Wahl der kinetischen Ratenkonstanten ein positiver Steady state.

Darstellung der Differenzialgleichungen

Für ein chemisches Reaktionsnetzwerk sei f(c):=dc/dt. Die Dynamik lässt sich in vier unabhängige Abbildungen zerlegen: eine nichtlineare und drei lineare. Es gilt f(c)=YI_aI_kψ(c).

Die Basisvektoren des Komplexraums ℝ^|𝒞| werden durch die Vektoren ω_{{y}} beschrieben. Als Matrix bilden sie, bei geeigneter Sortierung, die Einheitsmatrix E_|𝒞|.

Die nichtlineare Abbildung ψ:ℝ^|𝒮|→ℝ^|𝒞| ist definiert durch ψ(c):=Σ_{y∈𝒞}ω_{{y}}c^y, mit c^y:=∏_{s∈𝒮}c_s^{y_s}. Sie ordnet jedem Komplex den zugehörigen Massenwirkungsterm zu.

Die lineare Abbildung I_a:ℝ^|𝓡|→ℝ^|𝒞| lautet I_a(v):=Σ_{y→y′∈𝓡}(ω_{{y′}}−ω_{{y}})v_{y→y′}. Die Matrix I_k wird im Artikel an dieser Stelle noch nicht ergänzt. Es gilt jedoch v(c)=I_kψ(c). Die lineare Abbildung Y:ℝ^|𝒞|→ℝ^|𝒮| ist durch Y(ω_{{y}}):=y definiert. Damit gilt N=YI_a und vereinfacht f(c)=Nv(c).

Für Beispiel 2 ergeben sich die Differenzialgleichungen dc_A/dt=−2k_{R₁}c_A²+2k_{R₂}c_B, dc_B/dt=k_{R₁}c_A²−k_{R₂}c_B−k_{R₃}c_B+2k_{R₄}c_C², dc_C/dt=k_{R₃}c_B−2k_{R₄}c_C². Sie zeigen, wie aus Reaktionsstruktur, Ratenkonstanten und Konzentrationen die zeitliche Änderung jeder Spezies entsteht.