Buffonsches Nadelproblem

Grundidee und Bedeutung

Das buffonsche Nadelproblem fragt nach der Wahrscheinlichkeit, dass eine zufällig geworfene Nadel ein Gitter aus parallelen Linien schneidet. Es ist ein klassisches Problem der Integralgeometrie, also eines Gebietes, in dem geometrische Größen über Wahrscheinlichkeiten und Mittelwerte untersucht werden. Eine wichtige Anwendung ist, dass man damit die Kreiszahl \pi experimentell näherungsweise bestimmen kann.

Das Problem wurde von Georges-Louis Leclerc de Buffon 1733 vor der Pariser Akademie der Wissenschaften behandelt und 1777 ausführlicher im Supplement zu seiner Histoire Naturelle dargestellt. Die zentrale Frage lautet: Wenn parallele Linien den Abstand d haben und eine Nadel die Länge l, wie groß ist die Wahrscheinlichkeit p, dass die Nadel eine Linie berührt oder schneidet?

Experiment zur Bestimmung von Pi

Für das Experiment braucht man möglichst viele identische Stäbchen oder Nadeln. Auf einer ebenen Unterlage werden parallele Hilfslinien im Abstand d gezeichnet. Danach werden alle Stäbchen zufällig auf die Unterlage geworfen oder gestreut. Am Ende zählt man, wie viele Stäbchen eine der Linien kreuzen.

Ist der Linienabstand gleich der Stäbchenlänge, also d=l, dann erhält man eine Näherung für \pi, indem man die Gesamtzahl aller Stäbchen mit 2 multipliziert und durch die Zahl der treffenden Stäbchen teilt. Im Beispiel des Artikels schneiden 11 von 17 Stäbchen eine Linie. Daraus folgt {\hat \pi}={2\cdot 17 \over 11}\approx 3{,}1.

Für kurze Stäbchen mit d\geq l gilt die Trefferwahrscheinlichkeit p={2l \over \pi d}. Wenn N_A die Anzahl aller Stäbchen und N_C die Anzahl der Stäbchen mit Linienkreuzung ist, benutzt man die relative Häufigkeit {\hat p}=N_C/N_A als Schätzer für p. Daraus ergibt sich der Schätzer {\hat \pi}={2N_A l \over N_C d}. Nach dem Gesetz der großen Zahlen nähert sich N_C/N_A bei sehr vielen Würfen der theoretischen Wahrscheinlichkeit p an. Entsprechend nähert sich {2N_A l \over N_C d} der Zahl \pi, wenn N_A\to\infty. Für lange Stäbchen mit d<l ist der Zusammenhang komplizierter.

Kurze Nadeln

Für eine kurze Nadel gilt l\leq d. Man betrachtet einen Streifen der Breite d zwischen zwei benachbarten Linien. Der Winkel \Phi, unter dem die Nadel auf das Liniensystem trifft, wird als gleichverteilte Zufallsvariable aufgefasst. Eine konkrete Lage wird mit \varphi bezeichnet. Ob eine Nadel eine Linie berührt oder nicht, wird durch eine Bernoulli-verteilte Zufallsvariable Z beschrieben: Z=1 bedeutet Treffer, Z=0 bedeutet kein Treffer.

Bei festem Winkel \varphi trifft die Nadel eine Linie genau dann, wenn ein Endpunkt nahe genug an einem Rand des Streifens liegt. Die relevante Breite ist l|\cos\varphi|. Daher ist die bedingte Trefferwahrscheinlichkeit bei diesem Winkel {l|\cos\varphi| \over d}. Da der Winkel gleichverteilt ist, hat \Phi die Dichte f_\Phi(\varphi)={1\over 2\pi} für 0<\varphi<2\pi, sonst 0.

Durch Mittelung über alle Winkel erhält man p=\int_0^{2\pi}{l|\cos\varphi|\over d}{1\over 2\pi}\,d\varphi={2l\over \pi d}. Damit gilt E[Z]=P(Z=1)={2l\over \pi d} und umgestellt \pi={2l\over E[Z]d}. Im Experiment ersetzt man den Erwartungswert E[Z] durch den beobachteten Mittelwert {\hat E}[Z]={1\over N_A}\sum_{i=1}^{N_A}z_i. Daraus folgt der Schätzer {\hat \pi}={2l\over {\hat E}[Z]d}. Für große Stichprobenumfänge N_A ist {\hat \pi} asymptotisch normalverteilt um den Mittelwert \pi, mit der Varianz \operatorname{Var}[{\hat \pi}]={\pi^2\over 2N_A}\left({\pi\over l/d}-2\right).

Lange Nadeln und Barbiers Beweis

Für lange Nadeln gilt l>d. Dann kann eine Nadel mehrere Linien berühren. Deshalb reicht die einfache Formel für kurze Nadeln nicht mehr aus. Die Trefferwahrscheinlichkeit lautet p={2\over \pi}\left({l\over d}+\operatorname{arcsec}{l\over d}-\sqrt{\left({l\over d}\right)^2-1}\right). Dabei kann man statt des Arkussekans auch \operatorname{arcsec}x=\arccos {1\over x}={\pi\over 2}-\arcsin {1\over x} verwenden. Im Grenzfall d=l liefern die Formeln für kurze und lange Nadeln denselben Wert p={2\over \pi}. Für lange Nadeln wächst p streng monoton mit der Nadellänge l und geht für l\to\infty gegen 1.

Joseph-Émile Barbier gab 1860 für kleine Nadeln einen besonders eleganten Beweis ohne Integration. Er zeigt zuerst, dass der Erwartungswert E der Trefferzahl proportional zur Länge der Nadel ist: E=cl. Diese Linearität gilt auch für beliebige Kurven, weil man sie durch einen Streckenzug annähern kann. Zur Bestimmung von c betrachtet man Kreise mit Durchmesser d. Solche Kreise haben bei parallelen Linien im Abstand d immer genau 2 Treffer.

Nähert man den Kreis durch ein einbeschriebenes Vieleck P mit Umfang p und ein umbeschriebenes Vieleck Q mit Umfang q, so gilt E(P)=cp\leq 2\leq E(Q)=cq. Beim Grenzübergang gegen unendlich viele Seiten erhält man cd\pi\leq 2\leq cd\pi, also c={2\over d\pi}. Damit folgt wieder E={2l\over d\pi}. Dieser Beweis wurde wegen seiner Eleganz von Aigner und Ziegler in Das Buch der Beweise aufgenommen.

Verallgemeinerungen

Das Buffon-Problem lässt sich auf andere zufällig geworfene Figuren übertragen. Für Polygone mit Durchmesser kleiner als d und Umfang U ergibt sich aus der Buffon-Formel die Trefferwahrscheinlichkeit p={2U\over \pi d}. Nähert man eine geschlossene Kurve durch einen Polygonzug, erhält man entsprechend eine Trefferwahrscheinlichkeit, indem man den Umfang U durch die Länge der Kurve ersetzt. Auch hier muss der Durchmesser kleiner als d sein. Solche Überlegungen sind Ausgangspunkte der Integralgeometrie, in der man aus Trefferwahrscheinlichkeiten zum Beispiel Formeln für Bogenlängen von Kurven gewinnt.

Im Buffon-Laplace-Nadelproblem wird nicht nur ein Gitter paralleler Linien betrachtet, sondern ein Rechteck-Gitter mit Seitenlängen a und b. Für kleine Nadeln mit l<a und l<b lautet die Trefferwahrscheinlichkeit p={2l(a+b)-l^2\over \pi ab}.

Eine weitere verwandte Frage ist das Franc-Carreau-Problem: Eine Münze, also eine Kreisscheibe mit Durchmesser l, wird auf ein Quadratgitter mit Seitenlänge d geworfen, wobei l<d gilt. Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Münze auf dem Rand zu liegen kommt. Die Münze kann den Rand nur berühren, wenn ihr Mittelpunkt höchstens den Abstand l/2 vom Rand hat. Daraus folgt als Flächenverhältnis p={d^2-(d-l)^2\over d^2}={l\over d}\left(2-{l\over d}\right). Für ein faires Spiel muss l=d\left(1-{1\over \sqrt2}\right)\approx 0{,}293\cdot d sein.

Historische Einordnung und Experimente

Buffon berichtete 1733 vor der Französischen Akademie der Wissenschaften über das Nadelproblem und ähnliche Fragen. Ein praktischer Hintergrund war ein damals bei Adligen beliebtes Spiel: Man warf eine Münze auf ein Kachelmuster und wettete darauf, ob sie eine der Ritzen berührt oder nicht. Buffon behandelte das Thema 1777 ausführlicher. Für das Nadelproblem vermutete er bereits die korrekte Antwort. Aus der Formel für kurze Nadeln leitete er ab, dass für faires Wetten, also für eine Gewinnwahrscheinlichkeit von 50 Prozent, das Verhältnis l/d=\pi/4 sein muss. Für den Wurf auf ein quadratisches Gitter gab Buffon jedoch eine falsche Formel an.

Die korrekte Formel für ein quadratisches und auch ein rechteckiges Gitter gab Pierre Simon de Laplace 1812 an, ohne Buffon zu erwähnen. Laplace nutzte sie als Beispiel für die Anwendung der Wahrscheinlichkeitstheorie auf die Bestimmung von Kurvenlängen und Flächeninhalten. Isaac Todhunter führte dies 1865 weiter aus. Aus der Beschäftigung mit dem buffonschen Nadelproblem entstand auch Croftons Formel von Morgan Crofton für die Bogenlänge einer Kurve in der Integralgeometrie im Jahr 1868.

Es gab mehrere experimentelle Versuche zur Bestimmung von \pi. Mario Lazzarini soll 1901 mit einer eigens gebauten Maschine 3408 Würfe bei l/d=5/6 durchgeführt haben. Er gab 1808 Treffer an, woraus \pi=3{,}1415929\ldots folgt, also sechs Stellen nach dem Komma korrekt. Die angegebenen Zahlen gelten jedoch als verdächtig; andere Autoren deuteten das Ergebnis als Glückstreffer, und die Zahlen scheinen auf die bekannte Näherung 355/113 für \pi zugeschnitten zu sein. Rudolf Wolf führte 1850 ein Experiment mit l/d=0{,}8 durch und erhielt bei 5000 Würfen 2532 Treffer, entsprechend \pi=3{,}1596. Ambrose Smith führte 1855 3204 Würfe bei l/d=0{,}6 aus und erhielt 1218 Treffer, also \pi=3{,}155\ldots. Hans-J. Bentz kam bei 2000 Würfen auf \pi=3{,}1430\ldots.