Box-Plot

Grundidee und Zweck

Ein Box-Plot, auch Boxplot, Box-Whisker-Plot oder Kastengrafik genannt, ist ein Diagramm zur grafischen Darstellung der Verteilung eines mindestens ordinalskalierten Merkmals. Ordinalskaliert bedeutet, dass die Werte zumindest in eine sinnvolle Reihenfolge gebracht werden können. Der Box-Plot gehört zur beschreibenden Statistik und ist ein wichtiges Werkzeug der explorativen Datenanalyse, also der ersten Untersuchung von Daten.

Er zeigt auf engem Raum, in welchem Bereich Daten liegen und wie sie sich dort verteilen. Dafür fasst er robuste Lage- und Streuungsmaße zusammen. Besonders wichtig ist die Fünf-Punkte-Zusammenfassung: Median, unteres Quartil, oberes Quartil, kleinster Wert und größter Wert. Der Median ist der Wert, der die geordneten Daten in zwei gleich große Hälften teilt. Die Quartile teilen die Daten in Viertel.

Aufbau

Ein Box-Plot besteht immer aus einem Rechteck, der Box, und zwei Linien, die die Box nach außen verlängern. Diese Linien heißen Antennen, seltener Fühler oder Whisker, und werden durch einen Strich abgeschlossen. Innerhalb der Box liegt ein durchgehender Strich, der den Median der Verteilung darstellt. Box-Plots können horizontal, also liegend, oder vertikal, also stehend, gezeichnet werden.

Die Box zeigt den Bereich, in dem die mittleren 50 % der Daten liegen. Sie wird durch das untere und das obere Quartil begrenzt. Die Länge der Box entspricht dem Interquartilsabstand, englisch interquartile range, abgekürzt IQR. Der Interquartilsabstand ist also der Wertebereich zwischen dem 0,25-Quartil und dem 0,75-Quartil. Die Breite der Box hat meist keine inhaltliche Bedeutung und wird vor allem nach ästhetischen Gesichtspunkten gewählt.

Antennen und Ausreißer

Die Antennen stellen Werte dar, die außerhalb der Box liegen. Im Gegensatz zur Box sind sie nicht einheitlich definiert. Eine häufige Definition beschränkt die Antennen auf maximal das 1,5-Fache des Interquartilsabstands, also 1,5×IQR. Die Antennen enden dabei aber nicht genau an dieser rechnerischen Grenze, sondern bei dem äußersten Datenwert, der noch innerhalb dieser Grenze liegt. Deshalb müssen die Antennen auf beiden Seiten nicht gleich lang sein.

Wenn keine Werte außerhalb der Grenze von 1,5×IQR liegen, reichen die Antennen bis zum Minimum und Maximum des Datensatzes. Wenn Werte außerhalb der Antennen liegen, werden sie einzeln in das Diagramm eingetragen. Solche Werte können als ausreißerverdächtig behandelt oder direkt als Ausreißer bezeichnet werden. Ein Box-Plot mit dieser Definition heißt in der Literatur auch modifizierter Box-Plot.

Werte zwischen 1,5×IQR und 3×IQR werden als milde Ausreißer bezeichnet. Werte über 3×IQR heißen extreme Ausreißer oder Extremwerte. Manchmal werden milde und extreme Ausreißer mit unterschiedlichen Symbolen markiert. Der Artikel weist jedoch darauf hin, dass die Definition von Ausreißern in der Literatur nicht einheitlich ist. Deshalb sollte immer angegeben werden, welche Definition in einem konkreten Box-Plot verwendet wurde.

Eine andere Definition lässt die Antennen bis zum kleinsten und größten Wert des Datensatzes reichen. Dann umfasst die Box mit Antennen die gesamte Spannweite der Daten, und Ausreißer sind in dieser Darstellung nicht mehr erkennbar.

Ablesbare Kennwerte

Ein Vorteil des Box-Plots ist, dass mehrere Kennwerte direkt aus der Grafik abgelesen werden können. Das Minimum ist der kleinste Wert des Datensatzes. Es liegt am Ende einer Antenne oder beim entferntesten Ausreißer. Das Maximum ist entsprechend der größte Wert des Datensatzes und liegt ebenfalls am Ende einer Antenne oder beim entferntesten Ausreißer.

Das untere Quartil ist der Wert, bei dem die kleinsten 25 % der Werte kleiner als dieser oder gleich diesem Kennwert sind. Es bildet den Beginn der Box. Das obere Quartil ist der Wert, bei dem die kleinsten 75 % der Werte kleiner als dieser oder gleich diesem Kennwert sind. Es bildet das Ende der Box. Der Median ist der Wert, bei dem die kleinsten 50 % der Werte kleiner als dieser oder gleich diesem Kennwert sind. Er wird als Strich innerhalb der Box dargestellt.

Die Spannweite ist die Differenz zwischen Maximum und Minimum, also die Größe des gesamten Wertebereichs. Im Box-Plot entspricht sie der Länge des gesamten Diagramms inklusive Ausreißer. Der Interquartilsabstand ist der Bereich, in dem die mittleren 50 % der Daten liegen, und entspricht der Länge der Box.

Anwendung und Deutung

Box-Plots werden vor allem genutzt, um schnell einen Überblick über einen Datensatz zu erhalten. Die Box zeigt, wo die mittleren 50 % der Werte liegen. Box und Antennen zusammen zeigen, in welchem Bereich der Großteil der Daten oder je nach Definition alle Daten liegen. Der Median teilt das Diagramm in zwei Bereiche, in denen jeweils 50 % der Daten liegen.

An der Lage des Medians innerhalb der Box kann man Hinweise auf die Form der Verteilung erkennen. Ist der Median bei waagerechter Darstellung innerhalb der Box nach links verschoben, spricht das für eine rechtsschiefe Verteilung; umgekehrt deutet eine Verschiebung nach rechts auf Linksschiefe hin. Box-Plots sind weniger geeignet, um bi- oder multimodale Verteilungen zu erkennen, also Verteilungen mit zwei oder mehreren Häufungsbereichen. Dafür eignen sich Histogramme oder grafische Darstellungen von Kerndichteschätzungen besser.

Box-Plots mit Antennen von maximal dem 1,5-fachen Interquartilsabstand können Hinweise auf Ausreißer geben. Ein stark asymmetrischer Box-Plot, ungewöhnlich viele Ausreißer oder Ausreißer, die weit von der Box entfernt liegen, können darauf hindeuten, dass die Daten nicht normalverteilt sind. Besonders nützlich sind Box-Plots außerdem zum Vergleich mehrerer Untergruppen, weil mehrere Box-Plots auf derselben Skala nebeneinander oder untereinander dargestellt werden können.

Beispiel und historische Einordnung

Im Beispiel besteht die Messreihe aus 20 Datenpunkten. Sortiert lauten sie: 1, 3, 5, 6, 6, 7, 7, 8, 8, 8, 9, 9, 9, 9, 9, 10, 10, 10, 10, 10. Der Median liegt bei 8,5. Je 25 % der Daten liegen unter 7 beziehungsweise über 9,5. Damit reicht die Box von 7 bis 9,5, und der Interquartilsabstand beträgt 2,5.

Der Box-Plot des Beispiels verwendet Antennen mit einer maximalen Länge von 1,5×IQR. Da der IQR 2,5 beträgt, ergibt sich eine maximale Antennenlänge von 3,75. Die Antennen reichen aber nur bis zu Datenwerten, die noch innerhalb dieser Grenze liegen. Der obere Whisker reicht deshalb bis 10, weil es keinen größeren Wert im Datensatz gibt. Der untere Whisker reicht bis 5, weil der nächstkleinere Wert weiter als 3,75 vom Anfang der Box entfernt liegt. Die Werte 1 und 3 werden als Ausreißer markiert. Bei ihnen sollte geprüft werden, ob sie echte Ausreißer, Eingabefehler oder anderweitig auffällige Werte sind. Da der Median in der Box leicht rechts liegt, wird auf Linksschiefe geschlossen; eine symmetrische Normalverteilung scheint nicht vorzuliegen.

Historisch findet sich eine frühe Darstellung eines Box-Plots unter der Bezeichnung range-bar im Buch Charting Statistics von Mary Eleanor Spears aus dem Jahr 1952; dort reichen die Antennen bis zu den Extremwerten. Der Begriff Box-Plot geht auf John W. Tukey zurück, der 1977 in Exploratory Data Analysis von box-and-whisker plots sprach und vorschlug, die Antennen auf den 1,5-fachen Interquartilsabstand zu begrenzen.