Bornsche Wahrscheinlichkeitsinterpretation

Kernidee der Bornschen Regel

Die bornsche Wahrscheinlichkeitsinterpretation, auch bornsche Regel, wurde 1926 von Max Born vorgeschlagen. Sie ist ein wesentlicher Bestandteil der Kopenhagener Interpretation der Quantenmechanik. Sie beschreibt, mit welcher Wahrscheinlichkeit bei einer Messung an einem Quantensystem ein bestimmter Messwert auftritt.

In der ursprünglichen Form besagt sie: Die Wahrscheinlichkeit, ein Teilchen an einem bestimmten Ort zu finden, hängt vom Betragsquadrat seiner Wellenfunktion an diesem Ort ab. Genauer ist die Wahrscheinlichkeitsdichte proportional zu |ψ|².

Wahrscheinlichkeitsdichte und Messungen

Für die Wellenfunktion ψ(r,t) eines Teilchens gilt:

ρ(r,t) = |ψ(r,t)|²

ρ(r,t) ist die räumliche Wahrscheinlichkeitsdichte, das Teilchen am Ort r zur Zeit t zu detektieren. Der genaue Aufenthaltsort eines einzelnen Teilchens lässt sich damit nicht vorhersagen; vorhersagbar ist nur, wie die Wahrscheinlichkeiten räumlich verteilt sind.

Bei einem Ensemble, also einer Gruppe gleichpräparierter Zustände oder Teilchen mit gleichen Eigenschaften, kann diese Wahrscheinlichkeitsdichte als relative Häufigkeitsverteilung gemessen werden. Mit der bornschen Regel lassen sich außerdem Wahrscheinlichkeiten für unterschiedliche Eigenwerte einer Observablen berechnen. Eine Observable ist dabei eine messbare Größe. Früher wurde |ψ(r,t)|² auch als Massen- oder Ladungsdichte gedeutet.

Welle und Teilchen

Quantenobjekte wie Photonen und Elektronen zeigen je nach Experiment sowohl Wellen- als auch Teilcheneigenschaften. Nach der bornschen Interpretation breitet sich ein durch ψ(r,t) beschriebenes Quantenobjekt mit Welleneigenschaften aus, wird bei einer Detektion aber als Teilchen festgestellt.

Die Wellenfunktion erfüllt die Schrödingergleichung:

iℏ ∂ψ(r,t)/∂t = Ĥψ(r,t)

Dabei gilt r ∈ ℝ³ und Ĥ = −ℏ²/(2m) Δ + U(r,t). So fasst die Wellenfunktion die Welleneigenschaften bei der Ausbreitung und die Teilcheneigenschaften bei der Detektion zusammen.