Bloch-Funktion

Kernidee

Eine Bloch-Funktion oder Bloch-Welle ist eine allgemeine Form von Lösungen der stationären Schrödingergleichung für ein Teilchen in einem periodischen Potential. Ein wichtiges Beispiel ist die Wellenfunktion eines Elektrons in einem kristallinen Festkörper, also eines Bloch-Elektrons. In einem Kristall entsteht die Periodizität durch das Kristallgitter; der Vektor \vec R ist dann ein Gittervektor.

Das Bloch-Theorem besagt: Ist ein periodisches Potential V(\vec r) mit der Periodizität \vec R gegeben, also V(\vec r)=V(\vec r+\vec R), dann gibt es eine Basis von Lösungen der stationären Schrödingergleichung der Form \psi_{\vec k}(\vec r)=e^{\mathrm i \vec k\cdot \vec r}\cdot u_{\vec k}(\vec r). Dabei ist e die Eulersche Zahl, \mathrm i die imaginäre Einheit, \vec k ein beliebiger Vektor und u_{\vec k}(\vec r) eine von \vec k abhängige periodische Funktion mit u_{\vec k}(\vec r)=u_{\vec k}(\vec r+\vec R). Das Bloch-Theorem ist ein Spezialfall des Floquet-Theorems.

Periodizität und Aufenthaltswahrscheinlichkeit

Die Bloch-Funktion besteht aus zwei Faktoren: einer ebenen Welle e^{\mathrm i\vec k\cdot\vec r} und einer periodischen Funktion u_{\vec k}(\vec r). Die Periodizität des Potentials überträgt sich auf u_{\vec k}(\vec r). Dadurch ist auch die Aufenthaltswahrscheinlichkeit des Teilchens periodisch: |\psi(\vec r)|^2=|\psi(\vec r+\vec R)|^2.

Für ein Elektron in einem solchen Energieeigenzustand bedeutet das: In jeder Elementarzelle des Kristalls ist die Aufenthaltswahrscheinlichkeit gleich groß und hat denselben räumlichen Verlauf. Ist das Potential zeitunabhängig, kann u_{\vec k}(\vec r) als reell angesetzt werden.

Wellenvektor und Brillouin-Zone

Nach dem Bloch-Theorem werden die Einteilchen-Energieeigenzustände \psi_{\vec k}(\vec r) durch einen Wellenvektor \vec k parametrisiert. Seine Komponenten \vec k=(k_x,k_y,k_z) können grundsätzlich alle reellen Zahlen durchlaufen. Für eine vollständige Beschreibung reichen jedoch die Wellenvektoren der ersten Brillouin-Zone, zum Beispiel |k_x|\leq \pi/a_x und entsprechend für die anderen Richtungen.

Der Grund ist, dass eine Bloch-Funktion unverändert bleibt, wenn \vec k durch \vec k'=\vec k+\vec G_n ersetzt wird. \vec G_n=\sum_{i=1}^{3}n_i\vec b_i ist dabei ein Vektor des reziproken Gitters. Gleichzeitig wird u_{\vec k}(\vec r) durch u_{\vec k'}(\vec r)=e^{-\mathrm i\vec r\cdot\vec G_n}u_{\vec k}(\vec r) ersetzt. Weil per Definition e^{\mathrm i\vec R\cdot\vec G_n}=1 gilt, bleibt auch diese neue Funktion periodisch. So kann man vom erweiterten Zonenschema zum reduzierten Zonenschema übergehen.

Energiebänder und Bandindex

Im reduzierten Zonenschema braucht man zur vollständigen Beschreibung der Einteilchen-Wellenfunktionen nicht nur den Wellenvektor \vec k, sondern auch die Beiträge aller äquivalenten reziproken Gittervektoren \vec G_n. Deshalb wird ein zusätzlicher Index n eingeführt. Dieser Index beschreibt den Beitrag der n-ten Brillouin-Zone zum Energiespektrum und zur Wellenfunktion.

Da \vec G_n diskret ist, entsteht für jedes \vec k' ein diskretes Energiespektrum. Als Funktion von \vec k innerhalb der ersten Brillouin-Zone verändert es sich jedoch kontinuierlich. Dieses quasi-kontinuierliche, aber diskrete Energiespektrum wird durch diskrete Energiebänder dargestellt: E_{\vec k'}(\vec k')\rightarrow E_{nk}(\vec k,G_n). Entsprechend kann man schreiben: u_{\vec k'}(\vec r)=\sum_n u_{n\vec k}(\vec r,G_n) und \psi_{\vec k'}(\vec r)=e^{\mathrm i\vec k\cdot\vec r}\cdot\sum_n u_{n\vec k}(\vec r,G_n). Dies ist die Grundlage der Darstellung der Bandstruktur im Bändermodell der Festkörperphysik.

Quasiimpuls

Der Wellenvektor \vec k und der Bandindex n sind geeignete Indizes, um Einteilchen-Energieeigenzustände und Einteilchen-Wellenfunktionen im Gitter zu bezeichnen. Der Wellenvektor \vec k wird auch Quasiimpuls oder Kristallimpuls genannt.

Dieser Name kommt daher, dass bei einer schwach veränderlichen Funktion u_{\vec k}(\vec r)\approx const der Impuls des Teilchens näherungsweise durch \langle \vec p\rangle\approx \hbar\vec k gegeben ist. Der Kristallimpuls hat dann noch näherungsweise Eigenschaften eines gewöhnlichen Impulses, zum Beispiel bei der Impulserhaltung bei Stößen oder bei Emission und Absorption von Photonen. Wenn u_{\vec k}(\vec r)=const gilt, ist diese Beziehung exakt.

Herleitungsidee

Die vereinfachte Herleitung nutzt die Translationssymmetrie des periodischen Potentials. Wenn V(\vec r) bei einer Verschiebung um \vec R unverändert bleibt, ist auch der Hamiltonoperator \hat H=\frac{\hat p^2}{2m}+V(\vec r) invariant. Eine um \vec R verschobene Eigenfunktion ist daher wieder eine Eigenfunktion zur selben Energie.

Liegt keine Entartung vor, beschreibt die verschobene Funktion denselben Zustand und kann sich nur durch einen festen Phasenfaktor f unterscheiden: \psi(\vec r+\vec R)=f\,\psi(\vec r). Bei mehrfacher Translation multiplizieren sich die Phasenfaktoren zu f^n, während sich die Strecken zu n\vec R addieren. Weil die Teilchendichte erhalten bleiben soll, muss |\psi(\vec r+\vec R)|^2=|\psi(\vec r)|^2 gelten. Daher hat der Phasenfaktor die Form f(\vec R)=e^{\mathrm i\vec k\cdot\vec R}. Definiert man u(\vec r)=e^{-\mathrm i\vec k\cdot\vec r}\psi(\vec r), folgt u(\vec r+\vec R)=u(\vec r). Damit erhält man die Bloch-Form \psi(\vec r)=e^{\mathrm i\vec k\cdot\vec r}u(\vec r).