Bändermodell

Kernidee des Bändermodells

Das Bändermodell oder Energiebändermodell ist ein quantenmechanisches Modell, das die elektronischen Energiezustände in einem idealen Einkristall beschreibt. Ein Einkristall ist dabei ein Kristall, in dem die Atomrümpfe regelmäßig in einem streng periodischen Gitter angeordnet sind. In einem solchen Festkörper gibt es Energiebereiche mit sehr vielen quantenphysikalisch möglichen Zuständen. Diese Zustände liegen energetisch so dicht beieinander, dass man sie als Kontinuum auffassen kann: ein Energieband.

Die Darstellung dieser Energiebänder heißt Banddiagramm. Das Energiebändermodell eines Festkörpers wird als Bandstruktur im Impulsraum dargestellt. Besonders wichtig sind dabei die äußeren, energetisch höchsten Bänder: das Valenzband und das Leitungsband. Ob diese Bänder leer, teilweise besetzt oder vollständig besetzt sind, bestimmt wesentlich, ob ein Stoff elektrischen Strom leiten kann.

Entstehung der Energiebänder

Bei einem einzelnen Atom besitzen die Elektronen diskrete Energieniveaus, also klar getrennte erlaubte Energien. Das gilt auch für Atome, die weit voneinander entfernt sind. Nähern sich Atome einander an, verändern sich diese Niveaus: Sie spalten sich auf und verschieben sich leicht nach oben und unten. In einem Kristall wirken sehr viele Atome miteinander zusammen, sodass aus den vielen erlaubten Energiezuständen gemeinsame Energiebänder entstehen.

Die anschauliche Erklärung über die Wechselwirkung der Elektronen ist vereinfacht. Physikalisch exakt entstehen die Bänder durch die Bewegung der Elektronen im Feld der periodisch angeordneten Ionenrümpfe. Die Periodizität der Ionenrümpfe erzeugt ein periodisches elektrostatisches Potential. Dieses führt zu einer periodischen Wellenfunktion des Elektrons. Die Periodizität der Wellenfunktion ist die zentrale Ursache dafür, dass quasi-kontinuierliche, aber diskrete Energiespektren entstehen. Das ist die Grundaussage des Bloch-Theorems.

Die Energiebänder sind unterschiedlich breit. Elektronen auf niedrigen Energieniveaus sind stärker an ihr Atom gebunden und wechselwirken weniger mit Nachbaratomen; dadurch entstehen schmale Bänder. Valenzelektronen im Valenzband sind schwächer gebunden, können die Potentialberge zwischen den Atomen leichter überwinden und wechselwirken stärker mit Nachbaratomen. Deshalb lassen sie sich im Kristall nicht mehr einem einzelnen Atom zuordnen, und die entsprechenden Bänder werden breiter.

Elektrische Leitung

Für die elektrische Leitfähigkeit ist entscheidend, wie Valenzband und Leitungsband besetzt sind. Ein vollständig besetztes Band trägt ebenso wenig zum Ladungstransport bei wie ein unbesetztes Band. In einem voll besetzten Band können Elektronen keine zusätzliche Energie aufnehmen, zum Beispiel durch ein elektrisches Feld, weil keine unbesetzten Zustände mit etwas höherer Energie vorhanden sind.

Ein teilweise besetztes Band ermöglicht im elektrischen Feld einen von Null verschiedenen Nettostrom. Das ist allerdings nur eine notwendige Bedingung für Stromfluss. Sogenannte Mott-Isolatoren zeigen, dass es auch Stoffe mit teilbesetzten Bändern geben kann, die trotzdem nicht leiten. Für ihre Erklärung braucht man elektronische Korrelationseffekte, die außerhalb des Bändermodells als „Ein-Elektronen-Dispersion“ liegen.

Metalle leiten gut, auch bei tiefen Temperaturen, weil sie teilweise besetzte Bänder besitzen. Bei einwertigen Metallen ist das Leitungsband nur teilweise gefüllt. Bei mehrwertigen Metallen kann ein Band zwar theoretisch voll besetzt sein, es überlappt aber mit dem nächsthöheren Band. In beiden Fällen gibt es freie Energieniveaus für den Ladungstransport. Das Fermi-Niveau liegt dabei im äußeren noch besetzten Band.

Bei Halbleitern und Isolatoren ist am absoluten Nullpunkt, also bei 0 K, das höchste Energieband vollständig besetzt; dieses Band heißt Valenzband. Das darüberliegende Leitungsband ist bei 0 K unbesetzt. Zwischen beiden liegt ein quantenmechanisch verbotener Bereich, die Bandlücke. Erst wenn Elektronen durch Temperaturerhöhung oder Lichteinstrahlung genügend Energie erhalten, können sie die Bandlücke überwinden und ins Leitungsband gelangen. Dann tragen sowohl diese Elektronen als auch die im Valenzband zurückbleibenden Löcher zum elektrischen Strom bei. Diese Form heißt Eigenleitung.

Isolatoren und Halbleiter

Ein kristalliner Nichtleiter oder Isolator besitzt ein unbesetztes Leitungsband und eine große Bandlücke. Für Isolatoren gilt im Artikel: E_G > 3 eV. Dadurch werden bei Raumtemperatur und auch bei deutlich höheren Temperaturen nur sehr wenige Elektronen vom Valenzband ins Leitungsband thermisch angeregt. Der spezifische Widerstand ist deshalb sehr hoch. Durch ausreichend große Energiezufuhr, also bei sehr hohen Temperaturen oder durch eine genügend hohe Spannung, kann grundsätzlich jeder Isolator leitend werden; dabei wird er jedoch zerstört.

Bei kristallinen Halbleitern ist die Bandlücke kleiner: 0,1 eV < E_G < 3 eV. Sie kann durch thermische Energiezufuhr oder durch Absorption eines Photons gut überwunden werden. Ein Elektron wird dann ins Leitungsband angehoben und ist dort beweglich. Im Valenzband bleibt eine Lücke zurück, die durch benachbarte Elektronen aufgefüllt werden kann. Diese bewegliche Lücke heißt Defektelektron, Elektronenfehlstelle oder Loch. Bei Raumtemperatur haben Halbleiter daher eine geringe Eigenleitfähigkeit, die durch Temperaturerhöhung gesteigert werden kann.

Durch Dotierung kann ein Halbleiter gezielt mit Ladungsträgern ausgestattet werden. Bei n-Dotierung werden 5-wertige Atome in ein Kristallgitter aus 4-wertigen Atomen eingebracht. Dabei bleibt ein für die Bindung nicht benötigtes, locker gebundenes Elektron übrig. Mit geringer Energie kann es ins Leitungsband gehoben werden. Ein solches Atom heißt Elektronen-Donator und liegt energetisch knapp unterhalb des Leitungsbandes.

Bei p-Dotierung werden 3-wertige Atome eingebracht. Dadurch entsteht eine ungesättigte Bindung, in der ein Elektron fehlt. Dieses Atom heißt Elektronen-Akzeptor und liegt energetisch knapp oberhalb des Valenzbandes. Es entsteht eine ortsfeste negative Ladung und zugleich eine bewegliche positive Elektronenfehlstelle. Dotierte Kristalle sind wichtig in der Mikroelektronik, besonders für Halbleiterdioden, die aus einem p-n-Übergang bestehen, also aus der Kombination eines p-dotierten und eines n-dotierten Kristalls.

Das Bändermodell ist nicht auf alle Halbleiter und Isolatoren anwendbar. Ein Beispiel sind Hopping-Halbleiter. Bei ihnen erfolgt der Ladungsträgertransport nicht durch Bewegung im Leitungsband, sondern durch Hopping: Elektronen „springen“ sozusagen von Atom zu Atom.

Metalle, Halbmetalle und Banddarstellung

Bei Metallen spricht man meist nicht von Leitungsband und Valenzband, dennoch kann man das höchste vollständig besetzte Band als Valenzband und das darüberliegende teilweise besetzte Band als Leitungsband auffassen. Bei einwertigen Metallen ist das höchste besetzte Energieband zur Hälfte gefüllt. Bei mehrwertigen Metallen überlappen sich die äußeren Energiebänder teilweise. Deshalb können Elektronen schon bei beliebig kleinen elektrischen Feldstärken in höhere Energiezustände wechseln und zum Stromfluss beitragen. Eine Temperaturerhöhung verringert im Allgemeinen die Leitfähigkeit eines Kristalls, weil die Streuung der Elektronen zunimmt und ihre mittlere Geschwindigkeit sinkt.

Bei Metallen und Halbmetallen liegt das Ferminiveau innerhalb des höchsten besetzten Bandes oder im Überlappungsbereich der Bänder. Bei Halbmetallen liegt die Unterkante des Leitungsbands nur wenig tiefer als die Oberkante des Valenzbandes. Diese geringe Überlappung führt bereits bei Temperaturen um den absoluten Nullpunkt zu einer geringen Konzentration von Elektronen im Leitungsband und Löchern im Valenzband.

In einfachen Banddiagrammen werden Energieniveaus manchmal eindimensional über der Ortskoordinate x dargestellt. Für Vorgänge, bei denen ein Elektron von einem Band in ein anderes wechselt, ist jedoch die Darstellung über dem Wellenvektor k üblich. Diese Darstellung gehört zur Bandstruktur und wird als E-k-Diagramm beschrieben.

Historische Entwicklung

Das Bändermodell der Elektronenleitung in Metallen wurde 1928 von Felix Bloch entwickelt, in seiner Dissertation bei Werner Heisenberg in Leipzig. Es war damals ein Einelektronenmodell in periodischem Potential; Bloch betrachtete nur das Grundzustands-Band und keine Wechselwirkung der Elektronen untereinander.

Unabhängig und gleichzeitig entwickelte Hans Bethe 1928 in seiner Münchner Dissertation bei Arnold Sommerfeld ein entsprechendes Modell. In den folgenden Jahren wurde es von Rudolf Peierls, Léon Brillouin und Alan Herries Wilson weiterentwickelt. Wilson untersuchte 1931 anhand der Bandstruktur auch Isolatoren und zeigte die theoretische Möglichkeit von Halbleitern. Realistische Bandstruktur-Berechnungen begannen 1933 mit einer Arbeit von Eugene Wigner und Frederick Seitz über das Natrium-Gitter; dabei wurde auch die Wigner-Seitz-Zelle eingeführt.