Beweglichkeit (Physik)

Grundidee und Definition

Die Beweglichkeit, in der Mechanik meist mit μ und in manchen Zusammenhängen mit b bezeichnet, beschreibt, welche konstante stationäre Geschwindigkeit ein Körper unter einer konstanten Kraft erreicht:

v⃗ₛ = μ · F⃗.

Die erreichte Geschwindigkeit heißt Driftgeschwindigkeit v⃗ₛ. Eine Beweglichkeit ist vor allem in dissipativen Systemen sinnvoll, also in Systemen mit Reibung und inelastischer Streuung. Mit zunehmender Geschwindigkeit wächst die entgegenwirkende Reibungskraft. Sobald sie die äußere Kraft ausgleicht, verschwindet die effektive Beschleunigung und die Geschwindigkeit bleibt konstant. In der Elektrodynamik wird die entsprechende Größe etwas anders definiert: Dort verknüpft die Ladungsträgerbeweglichkeit die Driftgeschwindigkeit mit einem elektrischen Feld.

Mechanische Beweglichkeit und Stokes-Reibung

Eine konstante Kraft F⃗ beschleunigt einen Körper so lange, bis eine entgegengesetzte Reibungskraft, etwa Luft- oder Gleitreibung, denselben Betrag erreicht. Im Gleichgewicht gilt:

v⃗ = konstant = v⃗ₛ ⇔ v⃗̇ = 0.

Deshalb wird beispielsweise ein in der Atmosphäre fallender Körper nicht unbegrenzt schnell. Die mechanische Beweglichkeit ist definiert als

μ = |v⃗ₛ| / |F⃗|,

wobei | | den Betrag eines Vektors bezeichnet. Ihre Einheit ist s/kg.

Bei Stokes’scher Reibung ist die Reibungskraft proportional zur Geschwindigkeit:

F⃗_R = −γ · v⃗.

Für ein kugelförmiges Teilchen in einem Fluid gilt

γ = 6 · π · r · η / C,

mit dem Teilchenradius r, dem Durchmesser d = 2r, der dynamischen Viskosität η des Fluids und dem Cunningham-Korrekturfaktor C ≈ 1. Die Bewegungsgleichung lautet

m v⃗̇ = −γ · v⃗ + F⃗_ext.

Im stationären Zustand ist v⃗̇ = 0. Daraus folgen

v⃗ₛ = (1/γ) · F⃗_ext

und

μ = 1/γ = C/(6 · π · r · η) = C/(3 · π · d · η).

Die Beweglichkeit wird somit kleiner, wenn der Teilchenradius oder die Viskosität des Fluids größer wird.

Mobilitätsdurchmesser

Der mobilitätsäquivalente Durchmesser oder Mobilitätsdurchmesser d ist der Durchmesser einer Kugel, die im gleichen Fluid dieselbe Mobilität besitzt wie der betrachtete Körper. Der Körper selbst muss nicht kugelförmig sein. Nach dem Stokes’schen Gesetz gilt:

μ = C(d)/(3 · π · η · d).

Der Cunningham-Korrekturfaktor C(d) berücksichtigt, ob das umgebende Fluid als Kontinuum, als freimolekular oder als Übergang zwischen beiden Fällen behandelt werden muss. Entscheidend sind die mittlere freie Weglänge λ der Fluidmoleküle und der Mobilitätsdurchmesser:

C(d) = 1 + (2λ/d) · [α + β · exp(−γ · d/(2λ))].

Die Konstanten α, β und γ wurden empirisch ermittelt und werden in der Regel als allgemeingültig betrachtet. Der Mobilitätsdurchmesser wird vor allem in der Aerosoltechnik verwendet, insbesondere zur Beschreibung ultrafeiner Partikel.

Elektrische Mobilität und Leitfähigkeit

In der Elektrodynamik beschreibt die Ladungsträgermobilität μ den Zusammenhang zwischen der Driftgeschwindigkeit v⃗_D von Ladungsträgern und dem angelegten elektrischen Feld E⃗:

μ = |v⃗_D| / |E⃗|,

entsprechend v⃗_D = μ · E⃗. Ladungsträger können in Festkörpern Elektronen und Defektelektronen beziehungsweise Löcher sein, in Plasmen Elektronen und Ionen. Die Einheit ist

m²/(V · s) = A · s²/kg = C · s/kg;

üblich ist die Angabe in cm²/(V · s).

Bei kleinen Feldstärken E ist μ unabhängig von der Feldstärke. Bei hohen Feldstärken gilt dies nicht mehr; das Verhalten hängt wesentlich vom Material ab. In Festkörpern steigt die mittlere Elektronengeschwindigkeit bei sehr großen Feldstärken schließlich nicht weiter an, sondern erreicht die Sättigungsgeschwindigkeit v_sat.

Die elektrische Stromdichte j⃗ ist einerseits durch die Leitfähigkeit σ gegeben:

j⃗ = σ · E⃗ = σ · v⃗_D/μ.

Andererseits gilt mit der Ladungsdichte ρ = qn:

j⃗ = ρ · v⃗_D = q · n · v⃗_D,

wobei q die Ladung eines Ladungsträgers und n die Ladungsträgerdichte ist. Durch Gleichsetzen folgt:

σ = q · n · μ.

In Metallen verändert sich die Ladungsträgerdichte mit der Temperatur nur wenig. Daher wird ihre Leitfähigkeit vor allem durch die temperaturabhängige Mobilität bestimmt. In Halbleitern tragen Elektronen und Löcher gemeinsam bei:

σ = e · (n · μ_n + p · μ_p),

mit der Elektronendichte n, der Elektronenmobilität μ_n, der Lochdichte p, der Lochmobilität μ_p und der Elementarladung e. Bei Halbleitern hängt die Ladungsträgerdichte stark und exponentiell von der Temperatur ab, während die Temperaturabhängigkeit der Mobilität vergleichsweise klein ist.

Mikroskopische Erklärung, Festkörper und Gase

Ohne elektrisches Feld bewegen sich Ladungsträger in Gasen oder Festkörpern gewöhnlich zufällig; ihre mittlere Driftgeschwindigkeit ist daher null. In einem elektrischen Feld entsteht eine gerichtete Drift. Ihre Geschwindigkeit ist deutlich kleiner als die mittlere Geschwindigkeit der einzelnen Ladungsträger.

Nach dem Drude-Modell gilt

v_D = (q · τ/m) · E

und damit

μ = q · τ/m.

Dabei sind τ die mittlere Stoßzeit zwischen zwei Stößen, m die Masse und q die Ladung des Ladungsträgers. Die Stoßzeit lässt sich über die mittlere freie Weglänge λ ausdrücken:

τ = λ/v_mitt = λ/(v_th + v_D),

mit der thermischen Geschwindigkeit

v_th = √(3 · k · T/m).

k ist die Boltzmann-Konstante und T die absolute Temperatur. Bei nicht zu großen Feldstärken gilt v_D ≪ v_th, sodass näherungsweise τ ≈ λ/v_th ist.

Die quantenmechanische Betrachtung nach Sommerfeld liefert ein ähnliches Ergebnis, verwendet aber die effektive Masse m*, die sich um mehrere Größenordnungen von der Elektronenmasse unterscheiden kann. In entarteten Systemen wie Metallen und hochdotierten Halbleitern tragen nur Elektronen mit Energien im Bereich k · T um die Fermienergie E_F zur Leitfähigkeit bei. Daher gilt:

μ = q · τ(E_F)/m* = q · λ(E_F)/[m* · v(E_F)].

In Festkörpern hängt die Mobilität stark von Material, Temperatur, Feldstärke und Störstellendichte ab. Die Ladungsträger besitzen statistisch verteilte Geschwindigkeiten. Ihre mittlere freie Weglänge wird vor allem durch Streuung an Phononen, also Gitterschwingungen, und an Gitterfehlern begrenzt. Die Beiträge lassen sich näherungsweise mit der Matthiessenschen Regel verbinden:

μ = 1/[1/μ_Phononen + 1/μ_Störstellen].

Bei niedrigen Temperaturen dominiert die Streuung an Störstellen, bei höheren Temperaturen zunehmend die Streuung an Phononen. Da die effektive Masse im Allgemeinen ein richtungsabhängiger Tensor ist, hängt die Mobilität in Einkristallen auch von der Kristallorientierung ab.

In Halbleitern unterscheiden sich Elektronen im Leitungsband und Löcher im Valenzband. Elektronen haben meist eine kleinere effektive Masse und deshalb eine höhere Mobilität. Durch Dotierung werden Fremdatome eingebracht, die bewegliche Ladungsträger erzeugen, zugleich aber als Störstellen deren Mobilität verringern. Eine n-Dotierung erzeugt Überschuss-Elektronen, eine p-Dotierung Defektelektronen. Dominiert eine Art von Ladungsträgern, ist die Leitfähigkeit proportional zur Mobilität dieser Majoritätsladungsträger.

Bei 300 K beträgt die Elektronen- beziehungsweise Löchermobilität in kristallinem, undotiertem Silicium 1.400 beziehungsweise 450 cm²/(V · s), in Germanium 3.900 beziehungsweise 1.900 und in Galliumarsenid 9.200 beziehungsweise 400. Die höhere Elektronenmobilität von Galliumarsenid ermöglicht höhere Arbeitsfrequenzen als Silicium, allerdings bei höheren Materialkosten. Weitere angegebene Elektronenmobilitäten sind etwa 50 für übliche Metalle, 77.000 für Indiumantimonid und 100.000 cm²/(V · s) für Kohlenstoff-Nanoröhrchen. Graphen erreicht auf einem SiO₂-Träger 10.000 und bei 1,6 K bis zu 350.000; für ein zweidimensionales Elektronengas werden nahe dem absoluten Nullpunkt 35.000.000 cm²/(V · s) angegeben. Organische Halbleiter erreichen höchstens 10, während für Rubren eine Lochmobilität von 40 als höchste Mobilität unter den organischen Halbleitern genannt wird.

In der Gasphase wird die Mobilität für jeden Bestandteil einzeln definiert, was besonders für die Plasmaphysik wichtig ist:

μ = q/(m · ν_m),

wobei ν_m die Stoßfrequenz des Bestandteils ist. Die Einstein-Gleichung verbindet Mobilität und Diffusionskoeffizient D:

μ = [q/(k_B · T)] · D,

mit

D = (π/8) · λ² · ν_m.

Dabei sind λ die mittlere freie Weglänge, k_B die Boltzmann-Konstante und T die Temperatur.