Archimedisches Prinzip

Was besagt das archimedische Prinzip?

Das archimedische Prinzip wurde vor über 2000 Jahren vom griechischen Gelehrten Archimedes formuliert (als 16. Proposition in seinem Werk „Über schwimmende Körper“). Es lautet: „Der statische Auftrieb eines Körpers in einem Medium ist genauso groß wie die Gewichtskraft des vom Körper verdrängten Mediums.“ Es gilt in allen Fluiden, also näherungsweise in Flüssigkeiten und Gasen. Schiffe verdrängen Wasser und erhalten dadurch Auftrieb; da ihre mittlere Dichte geringer als die von Wasser ist, schwimmen sie. Ballone und Luftschiffe nutzen dasselbe Prinzip: Sie werden mit einem Gas geringerer Dichte als Luft gefüllt (z. B. Helium oder Wasserstoff), bei Heißluftballons wird die Luft mit Gasbrennern erwärmt, wodurch ihre Dichte abnimmt.

Erklärung des Phänomens

In einer Flüssigkeit oder einem Gas ist der Druck an einem Punkt in alle Richtungen gleich groß. Die vereinfachte Erklärung des Auftriebs: Der hydrostatische Druck wächst mit der Tiefe. Dadurch wirkt auf die Unterseite eines eingetauchten Körpers eine größere Kraft als auf die Oberseite; die seitlichen Kräfte heben sich gegenseitig auf und sind für den Auftrieb ohne Bedeutung. Aus dem Druckunterschied zwischen Unter- und Oberseite resultiert die Auftriebskraft.

Beispielrechnung über Druckunterschiede

Beispiel: Ein Würfel mit 20 cm Kantenlänge ist 10 cm tief unter die Wasseroberfläche eingetaucht. Der Druck einer 1 m Wassersäule beträgt 9810 Pa. An der Oberseite (0,1 m Wassersäule) herrschen 981 Pa, an der Unterseite (0,3 m) 2943 Pa; der Luftdruck addiert sich zu beiden Werten und fällt in der Rechnung weg. Kraft auf die untere Fläche (0,04 m²): F_unten = 2943 · 0,04 = 117,72 N nach oben. Kraft auf die obere Fläche: F_oben = 981 · 0,04 = 39,24 N nach unten. Die Differenz ist die Auftriebskraft: F_Auftrieb = 117,72 N − 39,24 N = 78,48 N.

Berechnung mit dem archimedischen Prinzip

Nach dem archimedischen Prinzip gilt F_Auftrieb = F_Gewicht, Fluid = V_verdrängt · ρ_Fluid · g. Für das Beispiel: 8000 cm³ · 1 g/cm³ · 9,81 · 10⁻³ N/g = 78,48 N. Verwendet werden die Dichte ρ des Fluids, die Beziehung ρ = m/V sowie der Ortsfaktor g. Beide Rechenwege liefern dasselbe Ergebnis.

Gedankenexperiment

Man stelle sich ein ruhendes Fluid vor, in dem ein beliebiger Fluidteil markiert ist – wie ein Wasserballon mit unendlich dünnener, masseloser Haut beliebiger Form. Da das gesamte Fluid in Ruhe ist, steigt oder sinkt der markierte Teil nicht: Er schwebt sozusagen schwerelos. Die Auftriebskraft auf ihn kompensiert also exakt sein Gewicht, entspricht also genau seiner Gewichtskraft. Da die Markierung beliebig ist, ist das archimedische Prinzip für homogene Fluide gezeigt.

Steigen, sinken, schweben

Damit der Körper der Beispielfigur seine Position hält, muss seine Gewichtskraft gleich der Gewichtskraft des verdrängten Wassers (78,48 N) sein; mit m = F_Gewicht/g sind das 8000 g, entsprechend einer Dichte von 1 kg/dm³ – der Dichte von Wasser. Allgemein gilt: ρ_Körper = ρ_Fluid → schweben; ρ_Körper < ρ_Fluid → steigen; ρ_Körper > ρ_Fluid → sinken. Körper steigen oder sinken, bis der Gewichtskraft eine betragsmäßig gleich große Kraft entgegenwirkt. Auf einen stationären Körper, der nicht auf dem Behälterboden aufliegt, wirkt daher F_Auftrieb = F_Gewicht, Körper, also V_eingetaucht · ρ_Fluid · g = m_Körper · g. Für schwebende oder aufschwimmende Körper gilt: V_eingetaucht · ρ_Fluid = V_Körper · ρ_Körper.