Wikipedia · einfach zusammengefasst · Stand
Abhängige und unabhängige Variable
In der Mathematik ist eine abhängige Variable eine Variable, deren Wert vom Effekt (einer) anderer(en) Variable(n) abhängt. Die Variable(n), mit deren Hilfe …
Inhalt5 Abschnitte
Grundidee
Eine abhängige Variable ist eine Variable, deren Wert vom Einfluss anderer Variablen abhängt. Diese anderen Variablen heißen im jeweiligen Untersuchungszusammenhang unabhängige Variablen. Die abhängige Variable ist die „Antwortvariable“: Ihre Veränderung soll mithilfe der unabhängigen Variablen erklärt oder vorhergesagt werden.
Bei der graphischen Darstellung einer Funktion mit einer Variablen steht die unabhängige Variable meist auf der horizontalen Achse, die abhängige auf der vertikalen Achse. Üblicherweise ist x unabhängig und y abhängig.
Funktionen in der Mathematik
Eine Funktion ist eine Beziehung zwischen zwei Mengen: Jedem Element der einen Menge wird genau ein Element der anderen Menge zugeordnet. Das Funktionsargument beziehungsweise der x-Wert ist die unabhängige Eingangsvariable; der Funktionswert beziehungsweise der y-Wert ist die abhängige Ausgabevariable.
Die übliche Schreibweise lautet y = f(x). Dabei kann x beliebige zulässige Eingabewerte annehmen, während y durch die Funktion von x bestimmt wird. Es sind auch mehrere unabhängige Variablen möglich, etwa z = f(x,y): z ist dann abhängig von x und y. Funktionen mit mehreren Ausgangsvariablen heißen oft vektorwertige Funktionen.
Abhängige Variablen in der Regression
In der Regressionsanalyse wird die abhängige Variable durch eine Regressionsgleichung vorhergesagt. Sie heißt auch Zielgröße oder Regressand. Die unabhängigen Variablen heißen Einflussgrößen, Regressoren, Prädiktoren oder Vorhersagevariablen.
Ausgangspunkt kann eine zweidimensionale Stichprobe mit den Wertepaaren (x₁,y₁), (x₂,y₂), …, (xₙ,yₙ) sein. Sie entstehen durch Beobachtung von X und Y an n Untersuchungseinheiten. Die Streuung von Y soll dabei zumindest teilweise durch die Streuung von X erklärt werden. Zielgrößen sind Merkmale, über deren Verteilung in einer Grundgesamtheit Aussagen getroffen werden sollen. Einflussgrößen sind Merkmale, die die Ausprägungen der Zielgröße beeinflussen und mit ihr in funktionalem Zusammenhang stehen.
Bei der linearen Einfachregression wird die Zielgröße durch eine Einflussgröße erklärt und zusätzlich von einer unbekannten additiven Störgröße überlagert: Yᵢ = β₀ + β₁ · xᵢ + εᵢ. Dabei ist β₀ der Achsenabschnitt, β₁ die Steigung und εᵢ die Störgröße. Geschätzt werden β₀, β₁ und die Varianz der Störgrößen. Bei mehreren Regressoren spricht man von multipler linearer Regression.
Abhängigkeiten zwischen Regressoren heißen Multikollinearität, Abhängigkeiten zwischen Störgrößen Autokorrelation; beides kann die Verfahren zur Bestimmung von Regressoreinflüssen ineffizient machen. Die Vollständigkeitsannahme verlangt, dass alle relevanten erklärenden Variablen im Modell stehen. Meist werden Regressoren als nichtstochastisch behandelt, also als bereits realisierte feste Zahlenwerte; andernfalls liegt eine Regression mit stochastischen Regressoren vor.
Weitere Bezeichnungen und wichtige Unterscheidungen
„Erklärte Variable“ und „erklärende Variable“ werden oft synonym zu abhängiger und unabhängiger Variable verwendet. In manchen Zusammenhängen meint „erklärende Variable“ jedoch nur Variablen, die ein Ergebnis kausal und nicht bloß durch Korrelation erklären. Die Bezeichnung „erklärte Variable“ wird teils bevorzugt, weil „abhängig“ nicht die statistische Unabhängigkeit von Zufallsvariablen meint.
In Experimenten heißen die Variablen häufig Antwortvariable und Kontrollvariable, weil die x-Variable vom Experimentator kontrolliert wird. Antwortvariablen können binär oder multinomial sein, etwa in binären Regressionsmodellen oder der multinomialen logistischen Regression. Je nach Skalenniveau gibt es nominale und ordinale Antwortvariablen. Kriteriumsvariable und Prädiktorvariable werden vor allem verwendet, wenn Vorhersage statt Kausalität im Mittelpunkt steht; eine Linearkombination von Prädiktoren heißt linearer Prädiktor.
In ökonometrischen Modellen werden exogene Variablen außerhalb des Modells bestimmt und dienen als Eingang. Endogene Variablen werden innerhalb des Modells bestimmt und bilden dessen Ausgang. Im engeren Sinn sind exogene erklärende Variablen nicht mit der Störgröße einer Regressionsfunktion korreliert.
Eine Kovariable oder Kovariate kann das untersuchte Ergebnis vorhersagen. Sie kann selbst interessieren, ein Störfaktor oder ein Effektmodifikator sein. Zeitabhängige Kovariablen können für unterschiedliche Antwortvariablenwerte unterschiedliche Werte annehmen, beispielsweise das Alter. Relevante Variablen haben im wahren Modell einen von null verschiedenen partiellen Effekt auf die Antwortvariable; irrelevante Variablen haben keinen solchen Effekt. Werden relevante Variablen ausgelassen, droht eine Verzerrung durch ausgelassene Variablen.
Typische Beispiele
Bei Feldversuchen zu Düngemitteln ist das verwendete Düngemittel die unabhängige Variable; Wachstum oder Ertrag der Nutzpflanze sind die abhängige Variable.
Bei einer Studie zu Arzneimitteln ist die Dosis die unabhängige Variable. Häufigkeit und Intensität der Symptome sind die abhängige Variable. Entsprechend ist beim Kaffee die zugesetzte Zuckermenge unabhängig und der Geschmack abhängig.