Überbestimmung

Grundidee und Nutzen

Überbestimmung bezeichnet in Mathematik und Anwendungen meist ein System, das durch mehr Gleichungen als Unbekannte beschrieben wird. Einschränkungen können allgemein auch als Ungleichungen oder in anderer Form vorliegen. Damit stehen mehr Informationen zur Verfügung, als zur Bestimmung der Parameter eines Modells notwendig wären.

Zusätzliche Angaben dienen zur Kontrolle eines Systems, zur Steigerung der Genauigkeit und zur Beurteilung seiner Bestimmtheit und Verlässlichkeit. Zusätzliche Beobachtungen können den Einfluss kleiner, unvermeidbarer Messabweichungen verringern. Sie können allerdings auch Widersprüche erzeugen, die häufig mit mathematischen Ausgleichsverfahren sinnvoll aufgelöst werden können.

Geometrie und Navigation

In der Geodäsie bedeutet Überbestimmung, dass zusätzliche geometrische Größen wie Richtungen oder Strecken gemessen werden, obwohl sie für die Bestimmung des Modells nicht mehr notwendig sind.

Ein einfaches Beispiel ist ein Dreieck: Zwei Winkel reichen aus, um den dritten zu bestimmen, weil die drei Winkel zusammen 180° ergeben müssen. Wird auch der dritte Winkel gemessen, liegt eine zusätzliche Kontrollinformation vor. Bei geometrischen Körpern und Vermessungsnetzen können entsprechend überschüssige Messungen oder Daten vorhanden sein.

Bei Navigationssystemen lassen sich mit drei empfangbaren Navigationssatelliten der geographische Längen- und Breitengrad direkt berechnen. Mit vier Satelliten kann zusätzlich die Höhe über dem Meeresspiegel bestimmt werden. Werden noch mehr Satelliten empfangen, ist das System überbestimmt.

Ausgleich und Fehleranalyse

Überbestimmungen werden häufig mit Ausgleichsrechnung und Varianzanalyse behandelt. Diese Verfahren beruhen auf der statistischen Verteilung unmerklicher Einflüsse, insbesondere der Normalverteilung. Mit der Methode der kleinsten Quadrate werden die Widersprüche zwischen überschüssigen Messungen oder Angaben so weit wie möglich minimiert.

Das Ergebnis sind die wahrscheinlichsten Werte der Unbekannten sowie die Residuen. Residuen sind die Restabweichungen zwischen den endgültig berechneten Werten und den einzelnen Bestimmungsgrößen. Aus ihnen können die jeweils wirksamen Fehleranteile herausgerechnet werden. Diese Informationen lassen sich anschließend zur Verfeinerung des mathematisch-physikalischen Modells nutzen.

Überbestimmte Systeme besitzen typischerweise keine exakte Lösung. Bei einem überbestimmten linearen Gleichungssystem wird deshalb statt des ursprünglichen Systems ein passend bestimmtes lineares Ausgleichsproblem gelöst. Gesucht wird ein Lösungsvektor, der den Fehler möglichst klein macht. Bei überbestimmten nichtlinearen Gleichungssystemen wird häufig die Gauß-Newton-Methode eingesetzt.

Differentialgleichungen und Integrabilität

Auch ein System von Differentialgleichungen kann überbestimmt sein. In zwei Dimensionen können beispielsweise die partiellen Ableitungen einer Funktion z(x,y) durch zwei verschiedene Funktionen φ₁(x,y,z) und φ₂(x,y,z) vorgegeben sein. Dabei wird vorausgesetzt, dass diese Funktionen in einem Gebiet zusammen mit ihren partiellen Ableitungen stetig sind. Da mehr Gleichungen als Unbekannte vorliegen, ist das Differentialgleichungssystem überbestimmt.

Damit eine gesuchte Funktion zusammen mit ihren Ableitungen stetig ist, müssen sich die partiellen Ableitungen vertauschen lassen. Daraus entsteht eine zusätzliche Integrabilitätsbedingung, also eine Bedingung dafür, dass die einzelnen Vorgaben tatsächlich zu einer gemeinsamen Funktion gehören können.

Kompatibilität und Rang

Bei überbestimmten Systemen muss geprüft werden, ob ihre Gleichungen dasselbe System beschreiben und wie dieses System festgelegt ist. Für lineare Gleichungssysteme ist entscheidend, ob die Gleichungen linear unabhängig sind. Dies wird über den Rang der zugehörigen Matrix untersucht.

Bei Systemen partieller Differentialgleichungen ergeben sich Kompatibilitätsbedingungen aus der Vertauschbarkeit der partiellen Ableitungen. Sind die notwendigen Bedingungen erfüllt, spricht man auch von vollständiger Integrierbarkeit.

Ein wichtiges Beispiel ist der Satz von Frobenius aus der Differentialgeometrie. Er beschreibt, wann ein System partieller Differentialgleichungen in q Dimensionen im ℝⁿ zu einem q-dimensionalen Tangentialraum einer Mannigfaltigkeit gehört. Nach Frobenius muss dafür der Kommutator der Vektorfelder des Systems wieder in diesem Tangentialraum liegen.

Abgrenzung zur Statik

Die Überbestimmtheit beziehungsweise Unbestimmtheit in der Statik bezeichnet eine andere Situation als die zuvor beschriebenen überbestimmten Systeme. Dort sind weniger lineare Gleichungen vorhanden, als zur Bestimmung der Unbekannten benötigt werden. Dieser Fall wird unter dem Begriff statische Bestimmtheit behandelt.