Mathematik I - 12 - Vektorrechnung 05 - Kreuz- und Spatprodukt
Mathe für Ingenieure
https://www.youtube.com/watch?v=uC3-v-QjGBs

Transkript (automatisch erstellt)

0:00 in diesem video tutorial kommen wir jetzt zu zwei weiteren rechenoperationen auf weg zu räumen und das ist das kreuz und das sogenannte sportprodukte
0:11 beginnt mit dem kreuz produkt das heißt auch vector produkt einfach weil das ergebnis 1 victor ist und dieses kreuz produkt gibt es nur auf dem
0:21 hochrhein also nur für drei tage wir schreiben dass man in den komponenten schreibweise und das kreuz produkt das sie
0:33 kennzeichnet durch das kreuz zwischen diesen beiden ausgangs vektoren bekommen sie indem sie diese ausdrücke bilden für die erste komponente zum
0:43 beispiel a 2 x b 3 - a 3 x b 2 eine zweite ist es dann aber dreimal b11 b3 und so weiter um sich dass insbesondere am anfang
0:55 merken zu können bringen sie sich vielleicht dieses schema 1 zeigt dass ein beispiel wir haben hier
1:04 die rektoren 5 - 2 und 1 sowie 4 2 - 3 wir wollen das kreuz produkt dieser beiden vektoren ausrechnen zunächst mal schreiben sie die ersten
1:16 beiden komponenten für beide vektoren nochmal unten dran das heißt für den ersten vector 5 und minus zwei und für den zweiten 4 und 2
1:28 anschließend zeichnen sie so ein kreuz an sie beginnen dabei mit den zweiten und der mit der zweiten und der dritten komponente
1:38 und diese linien verbinden jeweils zwei zahlen die miteinander multipliziert werden müssen also - 2 - 3 und 1 und 2 sie beginnen jeweils mit der linie die
1:52 links oben anfängt und rechts oben aufhört das ist das erste produkt und das zweite produkt ziehen sie jetzt davon ab also bekommen wir hier -
2:02 zweimal - 3 - 1 x 2 und jetzt machen sie das gleiche noch einmal aber ein zweiter unten das heißt diese neuen plänen der blau gezeichnet verbinden eins und vier
2:17 und fünf und minus drei und wieder bekommen sie die entsprechenden produkte 1 x 45 x - 3 und das gleich noch ein drittes mal und sie bekommen dadurch die
2:28 dritte komponente unseres ergebnis sektors und das müssen jetzt halt noch ausrechnen im genannten fall bekommen sie in der ersten komponente 62 also
2:38 vier in der zweiten komponente 4 + 15 es gibt 19 und in der dritten komponente 10 + 8 es gibt 18
2:50 ich gebe ihnen zunächst mal noch ein paar einfache rechenwege oder auch geometrische interpretationen zum kreuz produkt mit
3:00 zunächst mal ist das kreuz produkt nicht kommunikativ im gegenteil wenn sie die beiden ausgangs vektoren miteinander vertauschen erhalten sie genau das
3:10 negative von dem was sie ursprünglich erhalten haben man sagt es ist so genannte kommunikativ das
3:20 distribute gesetz ist aber ganz normal gültig das heißt wenn sie a kreuz b + c bilden ist das dasselbe wie paarkreuz b + 18
3:31 das was dem assoziativ gesetz entsprechen würde ist hier überhaupt nicht richtig das heißt paarkreuz b kreuz c in klammern kommt was völlig
3:42 anderes raus als wenn sie zuerst das kreuz produkt am kreuz bilden und anschließend das kreuz produkt mit c
3:52 dann ist es so dass die vektoren a b und das ergebnis am kreuz b in dieser reihenfolge ein rechtssystem bilden das ist hier kein begriff aus dem
4:04 politischen bereich sondern es bedeutet dass diese vektoren so orientiert sind dass sie den daumen dass ihre rechte hand in richtung
4:17 orientieren können den zeigefinger in richtung b und den mittelfinger in richtung kreuz b wenn das nicht möglich ist
4:31 dann spricht mal umgekehrt von einem link system dann ist es nämlich möglich die vektoren er in den zoo zu orientieren dass sie den entsprechenden
4:41 fingern der linken hand entsprechen und zum abschluss noch ein beispiel zum kreuz produkt halten sie das genau klar 21
4:54 halten sie das video bitte kurz an um dieses kreuz produkt auszurechnen ja sie merken schon wenn es ja wenn das kreuz produkte sie neu ist das erfordert
5:07 schon deutlich mehr über ganze skala produkt das muss man häufig machen um es dann fehlerfrei hinzukriegen ich habe hier die einzelne therme noch mal hin
5:17 geschrieben die sie auswerten müssen also - 1 mal 4 - - zweimal 0 für die erste komponente und so weiter und wenn sie das
5:26 ausrechnen bekommen sie hier - 4 -14 und 1 heraus ich habe noch ein zweites kreuz produkt für sie auch hier wieder bitte das video
5:37 kurz anhalten um dieses kreuz produkt auszurechnen auch hier habe ich wieder zunächst mal die einzel therme hingeschrieben und
5:48 wenn sie das dann auswerten erhalten sie - drei minus sechs und minus 5 ja ich möchte nochmal auf die geometrischen interpretation des kreuz
6:02 produkts zu sprechen kommen ganz wichtig ist dass das kreuz produkte immer senkrecht auf den beiden ausgangsverfahren und wie steht
6:13 das ist die eigenschaft die wir am häufigsten ausnutzen werden da komm ich auch gleich noch darauf zu sprechen eine andere wichtige eigenschaft ist
6:23 dass der betrag des kreuz produktes immer gleich der fläche des von a&b aufgespannten parallelogramm es ist
6:34 das bedeutet auch dass wenn sie das kreuz bilden da kommt der 0 vector aus das dann gar kein parallelogramm aufgespannt wird und das heißt dass a
6:44 und b quasi in dieselbe oder entgegengesetzte richtung zueinander zeigen vereinfacht gesagt a und b sind linie abhängig
6:55 daraus ergibt sich auch wozu man dass kalla produkt sozusagen brauchen kann wir können es immer dann gebraucht zum beispiel wenn man zu zwei gegebenen
7:05 vektoren einen vektor sucht der senkrecht auf beiden steht ja zum beispiel wenn wir gegen normalen form einer ebene später mal ausrechnen wurden
7:16 außerdem kann man das prima gebrauchen wenn man von einer fläche entweder den inhalt oder die orientierung der fläche haben möchte der inhalt nutzt die zweite
7:27 eigenschaft obenaus die orientierung die erste damit kommen wir jetzt zur zweiten rechenoperation die ich in diesem video
7:40 tutorial einführen möchte das spart produkt das spart produkt ist insofern etwas ungewöhnliches als dass sie drei ausgangs lektoren brauchen um das
7:52 spart produkt auszurechnen geschrieben hat das gute stück durch diese in klammern und diese drei vektoren die hier durch komma getrennt
8:01 sind definiert es ist das spart produkt als kalla produkt des ersten victors mit dem kreuz produkt der beiden anderen betriebe kreuz 10
8:15 das ergebnis ist logischerweise eine zahl weil sie ja als letzte rechenoperation 1 kalla produkt ausführen
8:23 und diese zahl diese bekommen ist gleich dem volumen des von a b und c aufgespannten parallel ips da ist ein kleiner schreibfehler drin ein
8:37 parallelität ist etwas was man früher auch einen start nannte daher der name und geometrisch ist das vereinfacht gesagt die dreidimensionale version
8:50 eines parallelogramm ja das ist also ein räumlicher körper mit sechs saiten und die sich gegenüber liegenden flächen sind jeweils parallel zueinander
9:05 sie können auch sagen das ding ist so ähnlich sieht so aus wie ein verzerrter würfel
9:14 auch hier wieder ein paar rechen regeln hier ist es ebenfalls so dass wenn sie zwei sektoren vertauschen dass sie dann das negative
9:25 des ursprünglichen resultat erhalten dabei ist es egal ob sie die ersten zwei lektoren oder den ersten und dritten oder den
9:33 zweiten und dritten vertauschen wenn sie hingegen eine sogenannte zyklische vertauschung vornehmen das heißt sie setzen den ersten vector
9:44 sozusagen ganz ans ende oder umgekehrt den letzten sektor an den anfang dann ändert sich das spart produkt nicht das können sie sich so klar machen dass
9:56 sie die zyklische vertauschung bekommen können in dem sie zweimal ein
10:04 paarweise vertauschung vornehmen das heißt dieses bca dass sich hier durch zyklische vertauschung bekommen habe kriegen sie aus der paarweisen
10:16 vertauschung die ich einen ersten schon vorgenommen arbeitet bac in dem sie anschließend noch das aber des 2000 haben weil sie praktisch zweimal dadurch
10:26 und minus-zeichen bekommen dreht sich das ihm wieder auf dann ist das sparprodukt genau dann größer null wenn die drei vektoren in
10:38 dieser reihenfolge natürlich wieder ein rechtssystem bilden und es ist logischerweise kleiner als 0 wenn sie einen link system bilden
10:48 stellt sich noch die frage was ist gleich null gleich null ist es dann wenn sie quasi kein parallelogramm aufspannen können kein parallelität das heißt wenn
11:00 sie irgendwie in einer ebene orientiert sind oder mathematische ausgedrückt wird die drei rektoren linie abhängig sind diese letzte eigenschaft
11:11 ist übrigens sehr praktisch sie haben schon gelernt lineare abhängigkeit von drei vektoren auszurechnen ist nicht immer so einfach
11:20 wenn man immer das muss man nur das spart produkt ausrechnen und schauen ob das null ist damit kommen wir jetzt eigentlich zu
11:29 beispielen ich habe ein erstes beispiel halten sie das video bitte an und berechnet sie dieses sparprodukt erst mal selbst
11:43 ok sie haben festgestellt das ist schon ziemlich aufwendig sie müssen zunächst mal das kreuz produkt der hinteren beiden rektoren ausreichender
11:53 kommentierenden - 462 raus und dann müssen sie das scala produkt mit dem ersten bilden 14 - 2 was sie hier bekommen ist 24 ok
12:07 damit nochmal eingeübt wird habe ich noch ein zweites beispiel das zeigt übrigens auch gleich noch was neues wieder wieder bitte das video anhalten
12:16 und dieses staates produkt erst mal selbst ausrechnen gut die vorgehensweise war im prinzip die gleiche sie rechnen erst mal das
12:27 kreuz produkte hinteren beiden rektoren aus da bekommen sie 26 - 10 -14 und wenn sie dann dass kalla produkt mit den erst mit dem ersten vector bilden
12:39 kommt hier genau null raus nur das zweimal 26 52 - 10 - 42 0 und das bedeutet das dass von den drei vektoren aufgespannte volumen 0 ist und
12:58 das bedeutet drei sektoren liegen in einer ebene oder das bedeutet das gleiche sie sind linearen so würde das ja vorher schon gesagt haben das spart
13:08 produkt ist null wenn die drei vektoren blicken abhängig sind das erlaubt es uns die aufgabe sozusagen noch ein klein bisschen komplizierter zu
13:18 machen wir stellen uns die frage wann diese drei sektoren wobei die letzten beiden noch einen parameter t enthalten
13:26 linear abhängig sind sie wissen jetzt dass sie im prinzip das sparprodukt ausrechnen müssen und es null setzen müssen und dann bekommen sie
13:37 eben die werte von t für die direktorin linie abhängig sind halten sie das video bietet dazu wieder an und versuchen das erst mal selbst
13:50 okay sie haben das spart produkt erst mal hin geschrieben dann haben sie das kreuz produkt der hinteren beiden rektoren berechnete
14:00 system - 2 - 26 - tsc quadrat dann haben sie das scala produkt mit dem ersten vector gebildet das ergibt hier t quadrat - 8 t und das ist das ergebnis
14:15 des staates produkt und das muss null sein damit die vektoren linear abhängig sind das ist eine verhältnismäßig eine quadratische gleichungen sie können das
14:23 t ausklammern und dann ist die quadratische gleichungen schon facto regiert die lösungen sind t1 gleich null und t2 gleich 8
14:34 damit haben sie auch dieses etwas längere video tutorial durchgearbeitet