Linear abhängige Vektoren, linear unabhängige Vektoren, Vektorrechnung
MathemaTrick
https://www.youtube.com/watch?v=thYOv7kuc-Q

Transkript (automatisch erstellt)

0:01 In diesem Video möchte ich über die lineare Unabhängigkeit oder auch lineare Abhängigkeit zweier Vektoren reden. Ähm, anschaulich betrachtet wäre die
0:11 lineäre Abhängigkeit, wenn ein Vektor ein Vielfaches eines anderen Vektors ist. Also diese Vektoren liegen auf einer Geraden.
0:23 Also entweder sie zeigen in die gleiche Richtung, sie sind also ein Vielfaches von dem anderen oder in genau die entgegengesetzte Richtung. Aber sie
0:30 liegen immer auf dieser Geraden. Das wäre die lineare Abhängigkeit. Also, es ist ein Vielfares des anderen Vektors. Und bei der linearen Unabhängigkeit wäre
0:40 es so, dass die Vektoren wirklich in komplett andere Richtung zeigen. Lineär unabhängig. Sie haben nichts miteinander zu tun.
0:49 Wenn ich also zwei Vektoren habe, den einen nicht a, der hat die Koordinaten 1, -1 und 2 und der zweite Vektor hat die Koordinaten -3, 3 und -6.
1:03 Und linear abhängig, habe ich gerade eben gesagt, bedeutet, man kann den einen als vielfaches von dem anderen darstellen.
1:11 Mathematisch bedeutet das, der Vektor A ist ein Vielfaches, also eine Zahl R. mal den Vektor B. Setzen wir das jetzt mal ein, was wir haben. Also unsere
1:22 Koordinaten 1, -1 und 2 soll also r mal mein B Vektor sein, also -3 und -6. Ich erhalte jetzt ein Gleichungssystem, indem ich mir alle Zeilen einzeln
1:40 betrachte. Also die erste Zeile wäre 1 = R -3. Die zweite Zeile ist die zweite Komponente, also -1
1:51 = r* 3 und 2 = r -6. Also, ich habe hier ein Gleichungssystem und es muss jetzt ähm erfüllt sein. Also
2:04 für das R muss überall dasselbe rauskommen, damit das Gleichungssystem stimmig ist. Schauen wir uns auch jede Zeile mal einzeln an. Hier oben nach R
2:12 aufgelöst. Ich teile durch -3. Dann komme ich auf -1/3. Zweite Zeile. Ich teile durch 3. Auch hier komme ich für R auf -1/3.
2:25 Und in der dritten Zeile, okay, hier haben wir es dann auch 2 -6 sind -13. Also kommt für das R überall dasselbe raus und ich kann meinen Vektor a
2:39 darstellen als -1/3 mal den Vektor B. Also, ich habe eine Zahl gefunden, ähm sodass ich äh den Vektor B als
2:51 Vielfaches von meinem Vektor A darstellen kann. Also sind diese beiden Vektoren linear abhängig.
3:00 Linear unabhängig möchte ich jetzt an dem nächsten Beispiel zeigen. Ähm, wir haben noch mal einen Vektor A, diesmal 3 4 1 und einen Vektor B
3:13 1 2 4. Ich stelle A wieder als Vielfaches von B da, also r mal B. Setze meine Koordinaten ein. 3 4 1 = R 1
3:27 2 4 und schreibe das Ganze als Gleichungssystem. Also 3 = R* 1, 4 = R* 2 und 1 = R* 4.
3:43 Jetzt betrachte ich wieder jede Zeile einzeln. Hier bei der ersten kommt raus, dass r = 3 ist. In der zweiten K raus, dass r = 4 dur 2
3:54 ist, nämlich 2. Und hier haben wir dann schon Widerspruch. 3 ist eben ung 2. Deswegen kann ich den Vektor A nicht als vielfaches
4:08 Vielfaches von dem Vektor B darstellen. Also sind diese beiden Vektoren linear unabhängig. Also bei testen, ob ein Vektor linear
4:18 abhängig oder linear unabhängig ähm sind, stellt man sie einfach als Vielfaches voneinander da und schaut, ob für das R immer dieselbe Zahl rauskommt.
4:28 Wenn nicht, dann sind sie eben linear unabhängig.