Das Video kommt von YouTube: erst beim Abspielen verbindet sich die Seite mit YouTube (Google).
Rekonstruktion von Größen/Beständen mit Integral (Einführung)
Das Wichtigste aus dem Video
Tipp auf eine Zeit – das Video springt genau dorthin.
Transkriptautomatisch erstellt · 51 Zeilen
- hallo zu diesem video aus dem gebiet der integralrechnung und hier geht es um die anwendung der integralrechnung nämlich die rekonstruktion von beständen oder
- der gesamtänderung aus der änderungsraten was ist damit überhaupt gemeint stellen wir uns dafür folgende situation vor gleichen müller möchte
- baden gehen aber sehen telefoniert dabei auch gerne mit ihrer freundin und so geht sie ins bad und lässt erst mal wasser in die wanne rein und zwar für
- zehn minuten mit einer zufluss geschwindigkeit von acht litern pro minute schreibt uns noch mal dran die zufluss
- rate wird in liter pro minute gemessen und die zeit wird in minuten gemessen so nachdem klärchen das wasser für zehn minuten in die wasser hat reihen laufen
- lassen dreht sie den hahn zu und telefoniert erstmal weiter für 15 minuten mit ihrer freundin die zu schlussrate beträgt also 0 liter pro
- minute während sie mit ihrer freundin spricht prüft so einmal die temperatur des wassers und stellt fest dass das wasser
- viel zu kalt ist die wanne aber schon ziemlich voll ist und deswegen lässt sie ein teil des wassers rauslaufen sie zieht den stöpsel und das wasser
- läuft mit einer abfluss geschwindigkeit von zehn liter pro minute raus und sie lässt das wasser für fünf minuten ablaufen
- dann macht sie wieder den stöpsel rein das heißt wir haben wieder eine abfluss geschwindigkeit von 0 litern pro minute und dann fühlt sie heißes wasser nach
- dass sie aber ein bisschen niedriger geschwindigkeit einführen lässt und das macht sie für weitere 15 minuten während sie mit ihrer freundin weiter quatscht
- danach beendete das telefonat dreht das heiße wasser ab und nimmt endlich ihr bad so diese rote kurve die wir jetzt hier gemalt haben ist eine funktion
- stellv die in abhängigkeit von der zeit also elf von t die änderungsraten das wasser zu oder abflusses beschreibt zufluss bedeutet
- positiven änderungsraten und abfluss bedeutet negative änderungsraten das wichtig ist jetzt dass obwohl diese kurve die
- fließgeschwindigkeit beschreibt können wir über diese funktion aber auch die wassermenge in der badewanne bestimmen nun wenn klärchen für zehn minuten mit
- einer geschwindigkeit von acht litern pro minute am anfang wasser einlaufen lässt dann entspricht das einem zufluss von 80 litern weil wir mehr gerechnet 8
- liter pro minute mal an der zeitspanne von zehn minuten und diese 80 liter entsprechen also dem flächen inhalt dieses rechtecks dann
- wenn wir länge mal breite rechnen dann kürzt sich hier diese minuten gegen diesen minuten über und dann steht hier acht mal zehn gleich
- 80 liter dann geht es weiter und zwischen minute 25 und 30 fließt für fünf minuten wasser raus mit einer geschwindigkeit von minus
- zehn liter pro minute das entspricht einem wasserverlust von minus 50 litern und das wasservolumen unserer wanne beträgt nach 30 minuten
- daher 80 liter - 50 liter gleich 30 liter bevor ich noch mal wasser nachlaufen lässt und zwar für 15 minuten mit 4 liter pro minute oder sind dann 60
- liter das wichtige was du jetzt aus diesem beispiel lernen sonst ist das wenn man eine funktion hat die eine änderungsraten wie hier liter pro minute
- ausdrückt dass man dann durch die bestimmung der fläche dieser funktion mit der x-achse die gesamt änderung eines bestandes ausrechnen kann also das
- volumen in litern von dem wasser das man in der badewanne hat und weil man die fläche zwischen einem funktions graf und der x-achse mit der integralrechnung
- berechnen kann kann man eine bestands änderung oder gesamtänderung aus der änderungsraten funktion bestimmen und das gilt ganz allgemein
- wenn diese rote funktion hier eine änderungsraten funktion ist und ein erinnerungs rate ist ja sowas wie meter pro sekunde liter pro minute
- euro pro tag oder allgemein ich sag jetzt mal sternchen geteilt durch dreieck und die einheit der größe auf der x-achse ist dreieck sowie hier liter
- pro minute gegen minute dann entspricht die flächen bilanz der zwischen kurve und x-achse eingeschlossenen fläche unserer funktion der gesamtänderung auf
- dem entsprechenden intervall und wenn die funktion sternchen durch dreieck war und das wurde gegen dreieck aufgetragen dann hat die gesamtänderung die einheits
- sternchen genauso wie wir hier liter pro minute gegen minute aufgetragen haben dann ist die gesamtänderung eine angabe in liter
- und ich habe gerade flächen bilanz gesagt weil flächen einheiten überhalb der x-achse werden positiv und unterhalb der x-achse werden negativ verrechnet
- bei unserem beispiel mit der badewanne ist die gesamt änderung des wassers in der wanne auf dem intervall zwischen null und 45 minuten 80 - 50 plus 60 das
- sind 90 liter und was auch noch ganz ganz wichtig ist hervorzuheben ist dass man nur die änderung des bestandes in dieser weise berechnen kann aber nicht
- direkt den gesamtbestand wenn klärchen jetzt mit einer leeren badewanne gestartet ist der anfangs bestand also 0 liter wasser einer panne war dann wissen
- wir dass nach 45 minuten 90 liter in der wanne sind aber angenommen in der wanne befanden sich schon zehn liter wasser als anfangs bestand und wird dann auf
- diesen anfangsbestand diese änderungsraten funktion angewandt dann wissen wir zwar dass die änderung die sie gemacht hat 90 liter beträgt aber
- die kommen natürlich zusätzlich noch auf die zehn liter drauf die am anfang da waren in dem fall wäre dann der bestand 100 liter was wir das noch mal zusammen
- wir können die bestands änderung aus einer änderungsraten funktion stellte jetzt mal elf bestimmen indem wir die flächen bilanz mit hilfe des integral
- auf dem intervall von a nach b bestimmen also a ist jetzt hier die linke grenze zum beispiel und ps jetzt hier die rechte grenze und dann gibt uns dieses
- integral die bestands änderungen an wenn wir jetzt allerdings einen gesamtbestand bestimmen wollen dann müssen wir auch den anfangsbestand
- kennen wird sehen wir dann die bestands änderung verrechnen und die funktion die wir hier integrieren muss wie gesagt die änderungsraten funktion sein und die
- bestands änderung entspricht der flächen bilanz zwischen kurve und x-achse schauen uns das noch ganz kurz beispiele für änderungsraten funktionen und den
- zugehörigen beständen an wie sie in typischen aufgaben verwertet werden neben dem beispiel mit der badewannen füllung ist auch der stadionbesuchen
- klassiker hier ist der bestand die anzahl der menschen im stadion und die änderungsraten funktion wird sie den zu- beziehungsweise ab strom von menschen
- pro stunde ausdrücken weiterer klassiker ist der ballonflug hier ist der bestand die flughöhe des ballons in metern und die änderungsraten ist die staig
- geschwindigkeit in meter pro sekunde beim schreiben auf der tastatur ist der bestand die anzahl der getippten zeichen und die änderungsraten funktion
- beschreibt die tib geschwindigkeit in zeichen pro minute und wenn ein geschäft haben sind wir vielleicht an dem ertrag in euro interessiert und dafür brauchen
- wir als änderung funktion den gewinn bzw verlust in euro pro monat wird noch konkrete beispiel videos machen wo wir auch dann rechnen
- wenn sie dieses video hilfreich waren es dann freue ich mich auf jeden fall wenn wir einen daumen hoch gibst main kanal abonnierst und nicht weiter empfiehlt
- und natürlich freue ich mich immer über anregungen und feedback und video wünsche in den kommentaren viel spaß mit vorquartal lernen bis zum
- nächsten video alles gute
Zum Nachlesen
IntegralrechnungDie Integralrechnung ist aus der Aufgabe entstanden, Flächeninhalte oder Volumina zu berechnen, die durch gekrümmte Linien bzw. Flächen begrenzt sind. Unter dem …
ÄnderungsrateMan unterscheidet zudem zwischen der mittleren Änderungsrate zwischen zwei Messungen und der momentanen Änderungsrate als abstrakte Größe.