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Integralrechnung - Rekonstruktion von Beständen | Visual X
Das Wichtigste aus dem Video
Tipp auf eine Zeit – das Video springt genau dorthin.
Transkriptautomatisch erstellt · 67 Zeilen
- was durch ja gerade siehst beschreibt die beiden grundlegenden aspekte der integralrechnung zum einen die flächen halte unter dem grafen eine funktion die
- wir auf magische art und weise berechnet werden und zum anderen dass mit diesen flächen enthalten ein ursprünglicher bestand wieder hergestellt wird
- was sich genau mit diesen beiden aspekten meine und wie sie zusammenhängen da schauen uns heute in diesem video
- [Musik] starten wir mit einem beispiel bei denen sich ein heißluftballon zwischen zwei
- punkten vom wind treiben lässt wir schauen uns die bewegung des balance innerhalb einer zeitspanne von zehn sekunden an
- und ja so wie es aussieht ändert der wind zwischendurch zwei mal die richtung der ballon hat hier also so ein bisschen in der luft herum
- du kannst die bewegung grafisch darstellen indem du auf eine x-achse die zeit und auf eine y achse dem zugehörigen weg ab trägst verbindest du
- zeit und weg nun durch die bewegung selbst so erhältst du diesen grafen bei dem du hoffentlich auch das rumgeeiere des ballons wieder erkennst für jeden
- zeitpunkt beispielsweise hierbei acht sekunden gibt ihr demnach die höhe des grafen den zurückgelegten weg an bezeichnen wir den grafen wie üblich in
- der physik mit einem ass ich vermute jetzt mal du weißt bereits was die ableitung einer funktion ist und ich vermute ebenfalls du weißt welche
- bedeutung der anstieg dieser tangente für den grafen 8 falls nicht eine kurze auffrischung für jeden zeitpunkt kannst du den tangenten anstieg als y wert
- einer neuen funktion verwenden diese grüne funktion wird dann als momentane änderungsraten des weges bezeichnet was nichts anderes ist als die
- geschwindigkeit des ballons in diesem punkt beispielsweise wenn der heißluftballon seine richtung das erste mal umgekehrt muss die geschwindigkeit
- natürlich für einen kurzen zeitpunkt 0 sein danach ist die geschwindigkeit dann negativ und das bedeutet dass der ballon
- seinem startpunkt wieder etwas näher kommt erklärt dann erneut noch einmal um und entfernt sich anschließend mit positiver geschwindigkeit das ist quasi
- das grundkonzept der differential rechnung zu einer gegebenen funktion f der rechnet man die momentane änderungsraten oder die ab
- leitungsfunktion er strich die integralrechnung krempelt diese fragestellung um sie fragt ob wir aus der abt leitungsfunktion die originale
- funktion wieder herstellen können es ist also nicht verwunderlich dass das lateinische wort für wiederherstellen im namen des neuen themen gebietes
- verborgen ist was du dann am ende des videos hoffentlich mitnimmst ist dass der wiederherstellungsprozess mit den unten gezeigten flächen zusammenhängt
- mit anderen worten wenn wir in der lage sind die angedeutete fläche zu berechnen dann können wir genau sagen wie weit sich der ballon vom startpunkt entfernt
- hat und an der stelle sollten bei dir jetzt aber direkt zwei fragen herum schwirren warum hängt diese fläche unter dem
- grafen der geschwindigkeit mit dem weg zusammen und zweitens wie zum teufel soll man die fläche und der so einer krumm linien
- kurve berechnen wie so häufig im leben wenn du keine ahnung von der materie hast probier's doch erstmal mit dem was du schon kennst betrachten wir also eine
- vereinfachte bewegung der ballon bewegt sich jetzt zunächst für sechs sekunden mit einer konstanten geschwindigkeit von fünf metern pro sekunde nach rechts
- kehrt uhr kürzlich um und fährt den gesamten weg mit einer etwas größeren geschwindigkeit innerhalb von vier sekunden zurück ziel ist es aus den
- beiden zeiten und geschwindigkeiten den zurückgelegten weg zu ermitteln im zeit geschwindigkeit diagramm erkennst du dann sowohl die konstanten
- geschwindigkeiten als auch die na ja zugegebenermaßen physikalisch unmögliche richtungsänderungen denn der ballon sich nun innerhalb einer sekunde um fünf
- meter fort bewegen soll denn das ist was eine geschwindigkeit von fünf metern pro sekunde an gibt dann schafft er in sechs sekunden sicherlich
- das sechsfache tatsächlich entspricht also bei diesem einfachen beispiel die fläche unter dem grafen dem zurückgelegten weg vollkommen analog
- finden wir dann mit 7,5 metern pro sekunde mal vier sekunden den im zweiten abschnitt zurückgelegten weg heraus und ja es scheint es jetzt so als würde uns
- die fläche unterhalb des grafen vorgaukeln dass der ballon insgesamt 60 meter fliegt und ich meine das ist in gewisser weise richtig in den ersten
- sechs sekunden entfernt er sich um 30 meter vom startpunkt und in den nächsten vier sekunden fliegt er auch 30 meter halten nur zurück
- in der integralrechnung beschreiben wir aber nicht die änderung einer größe in einzelnen abschnitten sondern die gesamtänderung der größe vom anfang bis
- zum ende und da sich der ballon zum start und endpunkt an derselben stelle befindet sollte diese gesamtänderung des weges
- genau null meter betragen daher sprechen wir in der integralrechnung von orientierten flechten die mit einem vorzeichen versehen werden müssen
- und so kann es also passieren dass eine fläche die oberhalb der x-achse liegt und eine fläche die unterhalb der x-achse licht sich gegenseitig
- auslöschen ok schön und gut bei konstanten funktionen kannst du mit hilfe dieser rechtecke den weg wieder herstellen aber
- immer noch wie zum teufel soll das bitte bei chrome linien grafen funktionieren das klappt natürlich nur wenn wir die bewegung in einzelne abschnitte
- unterteilen in denen die geschwindigkeit selbst konstant ist sagen wir die breite eines solchen abschnittes beträgt 0,5 und dann hast du vollkommen recht das
- hat doch überhaupt nicht mehr mit der wirklichen bewegung zu tun im ersten abschnitt ist die geschwindigkeit jetzt 0 der belangen
- bewegt sich also gar nicht mehr im zweiten abschnitt hat der ballon zwar eine geschwindigkeit die es aber stets kleiner als die der realen bewegung okay
- im dritten abschnitt passte es war halbwegs gut aber in den letzten abschnitt ist der ballon mit einer größeren geschwindigkeit unterwegs
- erst mal ziemlich unbefriedigend trotzdem hilft uns das hier diese rechtecke einzuzeichnen und erinnere dich bitte der flächen inhalt
- eines solchen rechtecks gibt an ob und wie weit sich der ballon innerhalb der 0,5 sekunden von dem statuen weg bewegt hat und mit diesen zahlen bist du nun
- wirklich in der lage den weg wieder herzustellen denn im prinzip muss nur diese flächen nur noch zusammen addieren heißt also
- den weg den der ballon in einem der 05 sekunden abschnitte zurückliegt den weg musst du auf dem gesamten weg oben drauf packen den wenn der ballon bis dahin
- geflogen ist flächen oberhalb der x-achse sorgen also dafür dass sich der bestand den wir wieder herstellen vergrößert flächen
- unterhalb der x-achse genau andersherum durch ihre orientierte negative fläche wird die gesamte änderungen kleiner im kontext des beispiels wird dies deutlich
- eine negative geschwindigkeit und damit eine negative fläche heißt dass sich der ballon wieder auf den startpunkt zubewegt für die bewegung des balance
- zwischen sechs und zehn sekunden liegt jede einzelne fläche oberhalb der x-achse die gesamt änderung des weges lässt somit am ende immer weiter an
- und ich kenne weiterhin zu dass dies immer noch nicht die reale bewegungen widerspiegelt dafür gibt es einfach noch zu viele große lücken zwischen unserem
- rechtecken und der realen bewegung was aber wenn wir jeden einzelnen konstanten geschwindigkeit abschnitt schmaler machen und gleichzeitig bitte daran
- denken dass mit vergrößerte anzahl an rechtecken die weg änderung in jedem kleinen teilabschnitten neu berechnet werden muss
- würdest du mir nicht zustimmen wenn ich sage okay diese approximation sieht schon wesentlich besser aus also wiederholen wir das ganze noch einmal
- und noch mal und noch mal mit jeder verkleinerung der breite einzelne rechtecke wird die gesamt änderung des weges schritt für schritt
- an den tatsächlichen bewegungsablauf angenähert und im grenzwert prozess sogar fast perfekt wieder hergestellt also ja in der integralrechnung gibt es
- tatsächlich zwei aspekte auf der einen seite wirst du in die flächenberechnung krumm linie grafen eintauchen was ehrlich gesagt ziemlich cool ist und
- viele neue anwendungsgebiete eröffnet auf der anderen seite wirst du diese flächen inhalte mithilfe einem wiederhergestellten funktion ermitteln
- müssen die wir später stamm funktionen werden fehlt eigentlich nur noch eine neue schreibweise woher diese kommt und
- welche bedeutung sie hat das gucken wir uns gemeinsam im nächsten jahr für heute reicht ein kurzer ausblick was man mit dieser symbolik alles machen kann
- zwischen einer zeit von 0 und 10 sekunden beträgt die gesamt änderung des weges zehn meter man kann das natürlich auch müssen
- kindern zwischen null und sechs sekunden entgegen hat sich der ballon nur um 1,3 meter vom startpunkt entfernt er war zwischendurch vielleicht schon
- mal weiter weg muss dann aber wieder irgendwann näher gekommen sein und sogar aussagen wie diese hier sind möglich in der zeit zwischen 2 und 9 sekunden hat
- sich der ballon insgesamt um 5,2 meter entfernt im nächsten video gucken wir uns ein bisschen genauer die berechnung der
- rechtecke an starten dort so wie heute auch mit ein paar wenigen rechtecken und werden dann daraus immer wieder mehr und mehr und mehr entstehen lassen das macht
- seiner rechnung natürlich nicht einfacher dafür in der symbolik die am ende rauskommt aber umso schöner
- [Musik]
Zum Nachlesen
IntegralrechnungDie Integralrechnung ist aus der Aufgabe entstanden, Flächeninhalte oder Volumina zu berechnen, die durch gekrümmte Linien bzw. Flächen begrenzt sind. Unter dem …
Fundamentalsatz der AnalysisDer Fundamentalsatz der Analysis, auch bekannt als Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung (HDI), ist ein mathematischer Satz, der die beiden …
ÄnderungsrateMan unterscheidet zudem zwischen der mittleren Änderungsrate zwischen zwei Messungen und der momentanen Änderungsrate als abstrakte Größe.
AnalysisDiesen Quotienten nennt man den Differenzenquotienten oder mittlere Änderungsrate. Wenn wir nun die Stelle x 1 {\displaystyle x_{1}} {\displaystyle x_{1} …