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Das unbestimmte Integral - Rekonstruktion von Beständen
Das Wichtigste aus dem Video
Tipp auf eine Zeit – das Video springt genau dorthin.
Transkriptautomatisch erstellt · 54 Zeilen
- herzlich willkommen zu diesem Video wo wir uns mit der Rekonstruktion von Beständen beschäftigen ich habe mir hier eine typische Aufgabe herausgesucht wir
- haben ein Wassertank der die Form eines Zylinders hat der Durchmesser der ist 60 cm und die Höhe ist 300 cm gegeben ist uns außerdem die Änderungsrate wie der
- Wasserstand sich verändert das heißt wir wissen wie viel Wasser abfließt und wie viel Wasser hinzukommt und ansonsten wissen wir nur den Anfangsbestand der
- Wassertank ist zum Zeitpunkt 0 bei 300 cm also vollgefüllt die Zeit wird angegeben in Minuten und die Änderungsrate wird in Zentimeter pro
- Minute angegeben wir haben jetzt hier verschiedene Aufgaben die relativ typisch sind zu diesem Thema die erste Aufgabe besteht darin dass wir die
- Stammfunktion herausfinden also unser h von T und das wie du hoffentlich schon weißt berechnet man indem man das unbestimmte integral von H von T
- berechnet wenn wir hier das unbestimmte integral berechnen wollen dann müssen wir die Potenz erstmal um eins erhöhen also haben wir erstmal t²adrat und das
- im Nenner muss verdoppelt werden das heißt wir haben 1 dur 108 und um zu schauen ob die Rechnung hier an der Stelle richtig ist sollte man hier noch
- mal die Probe machen und das ganze ableiten 2 x 1 dur 108 kann man kürzen zu 154 das ist also der richtige Vorfaktor und 2 - 1 ist 1 das heißt wenn
- man das ableitet kommt man genau auf das was h von T als ersten term gegeben hat beim zweiten machen wir das ähnlich wir machen 10 dritt und der Exponent wird um
- ein erhöht vorher steht da t hooch 0 jetzt steht t hoch 1 da außerdem brauchen wir jetzt hier an der Stelle noch für das unbestimmte integral die
- integrationskonstante C die sollte man an der Stelle nicht vergessen das ist ein typischer Fehler dafür wenn du hier die Probe gemacht hast das ganze
- abgeleitet wieder h von T ergibt dann bist du schon mal auf dem richtigen Weg jetzt muss man aber noch dieses C ausrechnen und dafür ist der sogenannte
- Anfangswert oder auch kurz AW relevant ich habe dir am Anfang gesagt dass der Wasserstand zum Zeitpunkt 0 genau bei 300 liegt das ist unserer Anfangswert
- das heißt h von 0 = 300 und wenn wir das jetzt hier einsetzen also 1 dur 108 mal 0 Z qu - 10 dr mal 0 + C dann können wir das noch vereinfachen zu 3 = 0 + 0 + C
- also ist 300 = C dementsprechend ist unsere vollständige Stammfunktion 1 dur 108* t² - 103 t + 300 jetzt ist es mir noch ganz besonders
- wichtig dass du das ganze auch geometrisch verknüpfst das was Du hier als rot eingezeichnete Funktion siehst das ist die Änderungsrate also h von T
- wenn man jetzt das Integral bildet kommt irgendeine Funktion raus das ist eine Stammfunktion aber es gibt auch noch eine andere Stammfunktion z.B diese hier
- und auch diese hier auch das sind Stammfunktionen und diese Stammfunktionen geben alles Möglichkeiten wieder wie der Wasserstand
- in diesem Wassertank ist aber nur eine davon ist richtig in der Realität und dafür brauchen wir den sogenannten Anfangswert das ist in dem Fall hier
- dieses a das heißt wir sind beim Zeitpunkt t = 0 bei einem Wert von 300 und wenn man sich jetzt alle Stammfunktionen anguckt dann sieht man
- dass nur diese eine Stammfunktion richtig ist weil nur diese eine Stammfunktion durch den Wert 03 100 geht das ist quasi das was hinter dieser
- Rechnung steckt jetzt haben wir also unsere erste Aufgabe dazu berechnet die zweite Aufgabe besteht jetzt darin dass wir rausfinden sollen wie groß der
- Wasserstand nach 1,5 Stunden ist dafür müssen wir jetzt einfach in H von T 1,5 Stunden eingeben und jetzt achtung hier muss man besonders bei solchen Aufgaben
- auf die Einheiten achten hier war ganz klar gegeben dass T in Minuten angegeben wird und h in Zentimeter pro Minute wenn wir also Minuten und Zentimeter pro
- Minute haben dann sollte man diese 1,5 Stunden in Minuten umrechnen und das sind 60 Minuten für eine Stunde + 30 Minuten von einer halben Stunde also 90
- Minuten das heißt wir müssen hier h von 90 einsetzen wenn man h von 1,5 einsetzt kommt definitiv was falsches raus wenn wir jetzt also h von 90
- einsetzen dann müssen wir rechnen 90 zum qu dur 108 - 10 Drittel mal 90 + 300 und da kommt tatsächlich 75 raus das heißt wir haben nach 90 Minuten noch eine
- Wasserstandshöhe von 75 cm wann immer man so ein Ergebnis wie 75 richtig interpretieren muss sollte man auch eine Antwortsatz schreiben ich würde den
- jetzt so formulieren nach 1,5 Stunden ist der Wasserstand bei 75 cm woran erkennt man eigentlich dass man hier was interpretieren muss du erkennst das vor
- allem daran dass hier keine Einheit steht du kannst ja gerne mal versuchen bei dieser Rechnung mit Einheiten zu rech das ist gar nicht so simpel wie man
- vielleicht denkt unsere letzte Aufgabe besteht darin herauszufinden wie viel Wasser in derzeit verloren gegangen ist dazu kopieren wir uns hier an der Stelle
- noch mal die Skizze nach unten weil man das anschaulich vielleicht ein bisschen besser versteht nach 1,5 Stunden ist der Wasserstand also hier unten und wir
- wollen rausfinden wie viel Wasser wir verloren haben deswegen müssen wir jetzt ausrechnen wie viel Wasser hier oben reinpassen würde wo jetzt Luft drin ist
- und wir wollen das ganze auch noch in Litern ausrechnen um dieses Volumen auszurech brauchen wir erstmal die Formel für ein Zylinder die Formel für
- ein Zylinder ist PR qur was der Grundfläche entspricht mal der Höhe die für uns relevante Höhe ist aber nicht die 75 cm hier unten die wir gerade eben
- ausgerechnet haben sondern das was hier oben fehlt und das sind 300- 75 cm das heißt kleine Nebenrechnung die Höhe ist= 300 cm - 75 cm und das sind 2 25 cm das
- heißt V ist PI mal jetzt können wir den Radius einsetzen das sind 30 cm also die Hälfte vom Durchmesser das ganze müssen wir quadrieren mal die Höhe die haben
- wir gerade ausgerechnet das sind 225 cm jetzt braucht man eine Umrechnung entweder man muss wissen dass 1000 kubikzm genau 1 l entsprechen oder man
- weiß dass ein kubikdezimet 1 ler ist ich persönlich benutze immer lieber die hier deswegen rechne ich das hier an der Stelle in Dezimeter um dann sind auch
- die Zahlen nicht so groß das heißt wir haben hier pi mal 3 DM zum Quadrat mal 22,5 DM wenn wir das alles in den Taschenrechner eingeben dann kommt hier
- raus 636,17 kubikdzim und weil ein kubikdezimeter dasselbe ist wie 1 Liter
- entspricht das hier auch genau 636,17 l und damit sind wir mit der Aufgabe fertig jetzt ist natürlich die
- Frage ist es überhaupt realistisches Problem mit so einem Wassertank denn klar man kann einen Durchfluss durch ein Rohr kann man ganz gut messen aber ein
- Wassertank der die Form eines Zylinders hat der ist natürlich auch relativ einfach zu ermitteln auch dafür kann es Sensoren geben die den Wasserstand
- entsprechend messen können viel schwieriger ist es aber z.B bei einem staudarm wenn man einen staudarm hat dann ist das Volumen von einem solchen
- Stausee total schwer zu ermitteln wenn man sich aber jetzt hier vorstellt wenn das hier die Staumauer ist und ich habe jetzt hier drüber den See dann hat
- dieser See jetzt verschiedene Zuflüsse und diese Zuflüsse da kann man relativ gut messen wie viel Wasser in dieses Seegebiet hineinkommt und da wo das
- Wasser rausgeht also genau da wo die Staumauer ist da kann man das auch ganz gut messen das heißt man weiß wie viel reingeht und man weiß wie viel rausgeht
- und wenn man das über mehrere Tage und Wochen misst dann weiß man auch wie viel Wasser in die See reinpassen jetzt könnte man sich natürlich wieder fragen
- wozu braucht man denn überhaupt das Volumen von einem See das ist z.B wichtig für Fischpopulation weil jagdfische z.B ein
- bestimmtes Revier brauchen und entsprechend genug Nahrung und dann kann man sich vorher überlegen ist es überhaupt sinnvoll dass dieser Fischart
- in diesen Stausee dann auch hineinkommen sollte oder nicht in diesem Sinne hoffe ich dass dir das Video geholfen und hoffentlich auch gefallen hat ich bin
- damit raus bis zum nächsten Video ciao ciao