Rekonstruktion von Größen/Beständen mit Integral (Einführung)
Mathehoch13
https://www.youtube.com/watch?v=r000IeiLito

Transkript (automatisch erstellt)

0:00 hallo zu diesem video aus dem gebiet der integralrechnung und hier geht es um die anwendung der integralrechnung nämlich die rekonstruktion von beständen oder
0:09 der gesamtänderung aus der änderungsraten was ist damit überhaupt gemeint stellen wir uns dafür folgende situation vor gleichen müller möchte
0:18 baden gehen aber sehen telefoniert dabei auch gerne mit ihrer freundin und so geht sie ins bad und lässt erst mal wasser in die wanne rein und zwar für
0:26 zehn minuten mit einer zufluss geschwindigkeit von acht litern pro minute schreibt uns noch mal dran die zufluss
0:34 rate wird in liter pro minute gemessen und die zeit wird in minuten gemessen so nachdem klärchen das wasser für zehn minuten in die wasser hat reihen laufen
0:47 lassen dreht sie den hahn zu und telefoniert erstmal weiter für 15 minuten mit ihrer freundin die zu schlussrate beträgt also 0 liter pro
0:59 minute während sie mit ihrer freundin spricht prüft so einmal die temperatur des wassers und stellt fest dass das wasser
1:06 viel zu kalt ist die wanne aber schon ziemlich voll ist und deswegen lässt sie ein teil des wassers rauslaufen sie zieht den stöpsel und das wasser
1:15 läuft mit einer abfluss geschwindigkeit von zehn liter pro minute raus und sie lässt das wasser für fünf minuten ablaufen
1:25 dann macht sie wieder den stöpsel rein das heißt wir haben wieder eine abfluss geschwindigkeit von 0 litern pro minute und dann fühlt sie heißes wasser nach
1:36 dass sie aber ein bisschen niedriger geschwindigkeit einführen lässt und das macht sie für weitere 15 minuten während sie mit ihrer freundin weiter quatscht
1:46 danach beendete das telefonat dreht das heiße wasser ab und nimmt endlich ihr bad so diese rote kurve die wir jetzt hier gemalt haben ist eine funktion
1:59 stellv die in abhängigkeit von der zeit also elf von t die änderungsraten das wasser zu oder abflusses beschreibt zufluss bedeutet
2:10 positiven änderungsraten und abfluss bedeutet negative änderungsraten das wichtig ist jetzt dass obwohl diese kurve die
2:19 fließgeschwindigkeit beschreibt können wir über diese funktion aber auch die wassermenge in der badewanne bestimmen nun wenn klärchen für zehn minuten mit
2:30 einer geschwindigkeit von acht litern pro minute am anfang wasser einlaufen lässt dann entspricht das einem zufluss von 80 litern weil wir mehr gerechnet 8
2:39 liter pro minute mal an der zeitspanne von zehn minuten und diese 80 liter entsprechen also dem flächen inhalt dieses rechtecks dann
2:58 wenn wir länge mal breite rechnen dann kürzt sich hier diese minuten gegen diesen minuten über und dann steht hier acht mal zehn gleich
3:06 80 liter dann geht es weiter und zwischen minute 25 und 30 fließt für fünf minuten wasser raus mit einer geschwindigkeit von minus
3:17 zehn liter pro minute das entspricht einem wasserverlust von minus 50 litern und das wasservolumen unserer wanne beträgt nach 30 minuten
3:27 daher 80 liter - 50 liter gleich 30 liter bevor ich noch mal wasser nachlaufen lässt und zwar für 15 minuten mit 4 liter pro minute oder sind dann 60
3:41 liter das wichtige was du jetzt aus diesem beispiel lernen sonst ist das wenn man eine funktion hat die eine änderungsraten wie hier liter pro minute
3:51 ausdrückt dass man dann durch die bestimmung der fläche dieser funktion mit der x-achse die gesamt änderung eines bestandes ausrechnen kann also das
4:04 volumen in litern von dem wasser das man in der badewanne hat und weil man die fläche zwischen einem funktions graf und der x-achse mit der integralrechnung
4:15 berechnen kann kann man eine bestands änderung oder gesamtänderung aus der änderungsraten funktion bestimmen und das gilt ganz allgemein
4:24 wenn diese rote funktion hier eine änderungsraten funktion ist und ein erinnerungs rate ist ja sowas wie meter pro sekunde liter pro minute
4:36 euro pro tag oder allgemein ich sag jetzt mal sternchen geteilt durch dreieck und die einheit der größe auf der x-achse ist dreieck sowie hier liter
4:49 pro minute gegen minute dann entspricht die flächen bilanz der zwischen kurve und x-achse eingeschlossenen fläche unserer funktion der gesamtänderung auf
4:59 dem entsprechenden intervall und wenn die funktion sternchen durch dreieck war und das wurde gegen dreieck aufgetragen dann hat die gesamtänderung die einheits
5:09 sternchen genauso wie wir hier liter pro minute gegen minute aufgetragen haben dann ist die gesamtänderung eine angabe in liter
5:17 und ich habe gerade flächen bilanz gesagt weil flächen einheiten überhalb der x-achse werden positiv und unterhalb der x-achse werden negativ verrechnet
5:29 bei unserem beispiel mit der badewanne ist die gesamt änderung des wassers in der wanne auf dem intervall zwischen null und 45 minuten 80 - 50 plus 60 das
5:41 sind 90 liter und was auch noch ganz ganz wichtig ist hervorzuheben ist dass man nur die änderung des bestandes in dieser weise berechnen kann aber nicht
5:53 direkt den gesamtbestand wenn klärchen jetzt mit einer leeren badewanne gestartet ist der anfangs bestand also 0 liter wasser einer panne war dann wissen
6:02 wir dass nach 45 minuten 90 liter in der wanne sind aber angenommen in der wanne befanden sich schon zehn liter wasser als anfangs bestand und wird dann auf
6:11 diesen anfangsbestand diese änderungsraten funktion angewandt dann wissen wir zwar dass die änderung die sie gemacht hat 90 liter beträgt aber
6:21 die kommen natürlich zusätzlich noch auf die zehn liter drauf die am anfang da waren in dem fall wäre dann der bestand 100 liter was wir das noch mal zusammen
6:32 wir können die bestands änderung aus einer änderungsraten funktion stellte jetzt mal elf bestimmen indem wir die flächen bilanz mit hilfe des integral
6:43 auf dem intervall von a nach b bestimmen also a ist jetzt hier die linke grenze zum beispiel und ps jetzt hier die rechte grenze und dann gibt uns dieses
6:55 integral die bestands änderungen an wenn wir jetzt allerdings einen gesamtbestand bestimmen wollen dann müssen wir auch den anfangsbestand
7:04 kennen wird sehen wir dann die bestands änderung verrechnen und die funktion die wir hier integrieren muss wie gesagt die änderungsraten funktion sein und die
7:15 bestands änderung entspricht der flächen bilanz zwischen kurve und x-achse schauen uns das noch ganz kurz beispiele für änderungsraten funktionen und den
7:25 zugehörigen beständen an wie sie in typischen aufgaben verwertet werden neben dem beispiel mit der badewannen füllung ist auch der stadionbesuchen
7:34 klassiker hier ist der bestand die anzahl der menschen im stadion und die änderungsraten funktion wird sie den zu- beziehungsweise ab strom von menschen
7:41 pro stunde ausdrücken weiterer klassiker ist der ballonflug hier ist der bestand die flughöhe des ballons in metern und die änderungsraten ist die staig
7:52 geschwindigkeit in meter pro sekunde beim schreiben auf der tastatur ist der bestand die anzahl der getippten zeichen und die änderungsraten funktion
8:01 beschreibt die tib geschwindigkeit in zeichen pro minute und wenn ein geschäft haben sind wir vielleicht an dem ertrag in euro interessiert und dafür brauchen
8:11 wir als änderung funktion den gewinn bzw verlust in euro pro monat wird noch konkrete beispiel videos machen wo wir auch dann rechnen
8:22 wenn sie dieses video hilfreich waren es dann freue ich mich auf jeden fall wenn wir einen daumen hoch gibst main kanal abonnierst und nicht weiter empfiehlt
8:30 und natürlich freue ich mich immer über anregungen und feedback und video wünsche in den kommentaren viel spaß mit vorquartal lernen bis zum
8:38 nächsten video alles gute