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Schnittgerade zweier Ebenen berechnen | Studyflix
Das Wichtigste aus dem Video
Tipp auf eine Zeit – das Video springt genau dorthin.
Transkriptautomatisch erstellt · 28 Zeilen
- Zwei Ebenen können auf verschiedene Weise zueinander stehen. Sie können sich z. B. entlang einer Schnittgeraden schneiden. In diesem Video zeigen wir dir, wie du sie berechnen kannst.
- Zwei Ebenen haben drei Möglichkeiten, im Raum zu liegen. Sie können genau aufeinander liegen. Darüber hinaus
- können sie auch parallel sein und sich nicht schneiden. Zuletzt können sie sich schneiden. Mit folgender Anleitung kannst du ihre Schnittgerade ausrechnen,
- wenn eine der Ebenen in Koordinatenform und die andere in Parameterform gegeben ist. Die Koordinatenform erkennst du an den Variablen x₁, x₂ und x₃.
- In der Parameterform kommen immer Vektoren und Parameter wie λ und μ vor. Aber wie findest du jetzt die Schnittgerade der beiden Ebenen?
- Halte dich dafür einfach an folgende drei Schritte: Als Erstes setzt du die Parameterform in die Koordinatenform ein.
- Dabei bekommst du eine neue Gleichung, die du nach dem Parameter μ umstellst. Im dritten Schritt setzt du die neue Gleichung für μ in deine Ebene F ein.
- Das Ergebnis ist die Schnittgerade der Ebenen. Schauen wir uns das im Detail an.
- Zuallererst setzt du die Ebenengleichung F ein. Aber wie soll das gehen?
- Wenn du genau hinschaust, siehst du, dass F aus drei Zeilen besteht. Jede Zeile ist eine eigene Gleichung, die nach x₁, x₂ bzw. x₃ aufgelöst ist.
- Daher kannst du sie unverändert an der entsprechenden Stelle in E einsetzen. Du ersetzt also die drei x-Variablen in den entsprechenden Zeilen von F.
- Sehr gut, das Schwierigste ist erledigt. Als Nächstes willst du die komplizierte Gleichung vereinfachen.
- Dafür multiplizierst du zuerst die Klammern aus. Jetzt hast du viele einfachere Terme, die du zusammenfassen kannst.
- Danach rechnest du alle Terme mit μ sowie alle Terme mit λ zusammen. Untereinander schreibst du zuletzt alle Terme ohne Variable.
- In unserem Beispiel ergibt das: -8 + 11 · λ + 11 · μ = -8
- Sehr gut. Jetzt fällt es dir leicht, die Gleichung nach μ umzustellen.
- Du addierst einfach auf beiden Seiten 8 und bringst λ auf die andere Seite, indem du 11 · λ von der Gleichung abziehst.
- Zuletzt teilst du alles durch 11 und voilà, du hast die komplizierte Gleichung nach dem Parameter μ umgestellt.
- Das ist sehr wichtig, weil du die neue Gleichung μ = -λ
- benutzen kannst, um deine Schnittgerade zu finden. Und genau das machst du im nächsten Schritt.
- Du hast es fast geschafft. Jetzt musst du nur noch alle Puzzleteile zusammensetzen.
- In den ersten beiden Schritten hast du einen Zusammenhang zwischen μ und λ gefunden. Wenn du dir die Gleichung von Ebene F anschaust, erkennst du,
- warum du die ersten zwei Schritte gemacht hast. Die Gleichung
- μ = -λ kannst du nämlich in die Ebene F einsetzen.
- Ersetze also das μ in F durch -λ und du bist auf dem besten Weg, die Schnittgerade G zu finden. Die neue Gleichung ist nur noch von λ abhängig und du kannst λ ausklammern.
- Vereinfache die Klammer, indem du die beiden Vektoren zeilenweise subtrahierst. Das ergibt schließlich die Gleichung der Schnittgerade G.
- War doch gar nicht so schwer, oder? Mit Ebenen in Koordinaten- und Parameterform kannst du problemlos umgehen.
- Aber wie gehst du mit Ebenen in Normalform um? Schau dir dafür am besten unser Video über die Hessesche Normalform an.
Zum Nachlesen
SchnittgeradeEine Schnittgerade ist ein Begriff der Geometrie. Zwei Ebenen im dreidimensionalen euklidischen Raum, die nicht parallel zueinander sind, schneiden sich …
LagebeziehungLagebeziehung · Die Gerade schneidet die Ebene in einem Punkt; · die Gerade meidet die Ebene; · die Gerade ist in der Ebene enthalten.
Allgemeine KoordinatenformBei der allgemeinen Form wird eine Gerade in der euklidischen Ebene oder eine Ebene im euklidischen Raum in Form einer linearen Gleichung beschrieben. Die …
ParameterformEine Ebene wird durch einen Stützvektor und zwei Richtungsvektoren dargestellt. Jeder Punkt der Ebene wird dann in Abhängigkeit von zwei Parametern beschrieben.