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Ober- und Untersumme berechnen | Fundamente der Mathematik | Erklärvideo

Cornelsen Verlag4:58 32.071 Aufrufe veröffentlicht Auf YouTube

Das Wichtigste aus dem Video

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Transkriptautomatisch erstellt · 25 Zeilen
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  1. In diesem Film lernst du, wie du mithilfe von Ober- und Untersummen näherungsweise die Fläche zwischen dem Graphen einer Funktion und der x-Achse bestimmst.
  2. Die Normalparabel und die x-Achse schließen im Intervall von 0 bis 2 eine Fläche ein. Nähere diese Fläche durch 4 gleich breite Rechtecke erst von unten und dann von oben an.
  3. Berechne die Untersumme U4 und die Obersumme O4. Die Fläche, die im Intervall von 0 bis 2 zwischen der Normalparabel und der x Achse liegt,
  4. hat einen krummlinigen Rand. Der Flächeninhalt kann also nicht mit den üblichen geometrischen Mitteln berechnet werden.
  5. Du kannst den Flächeninhalt aber durch eine Zerlegung in 4 gleich breite Rechtecke abschätzen. Bestimme zuerst, wie breit jedes der 4 Rechtecke sein muss.
  6. Teile dazu die Breite des Intervalls durch die Anzahl der geforderten Rechtecke. Also 2:4.
  7. Jedes Rechteck hat die Breite 0,5. Suche nun 4 Rechtecke der Breite 1/2, die vollständig unterhalb des Graphen liegen.
  8. Die Höhe der Rechtecke entspricht dem kleinsten Funktionswert im jeweiligen Teilintervall. Dieser Funktionswert wird am linken Rand angenommen:
  9. für das erste Rechteck also bei x = 0, für das zweite Rechteck bei x = 0,5, für das dritte Rechteck bei x = 1, und für das vierte Rechteck A4 bei x = 1,5.
  10. Alle Rechtecke liegen vollständig unterhalb des Graphen. Zusammen ergeben sie eine Fläche,
  11. die kleiner ist als der Flächeninhalt zwischen dem Graphen und der x-Achse. Die Summe der Flächeninhalte der Rechtecke nennt man Untersumme.
  12. Da das Intervall in 4 Teilintervalle zerlegt ist, kürzt man die Untersumme mit U4 ab. Das erste Rechteck hat die Höhe 0.
  13. Also ist auch sein Flächeninhalt 0. Das zweite Rechteck hat die Breite 0,5. Die Höhe entspricht dem Funktionswert f(0,5), also 0,5².
  14. Das dritte Rechteck hat ebenfalls die Breite 0,5. Seine Höhe ist der Funktionswert an der Stelle x = 1.
  15. Das vierte Rechteck hat die Breite 0,5. Seine Höhe ist der Funktionswert an der Stelle x = 1,5. Addiere nun die 4 Flächeninhalte.
  16. Die Untersumme hat den Wert 1,75. Suche als nächstes 4 gleich breite Rechtecke, die vollständig oberhalb des Graphen liegen. Auch diese Rechtecke sind 0,5 Längeneinheiten breit.
  17. Ihre Höhen entsprechen dem größten Funktionswert im jeweiligen Teilintervall. Dieser Funktionswert wird stets am rechten Rand angenommen:
  18. für das Rechteck A1 also bei x = 0,5, für das Rechteck A2 bei x = 1, für das Rechteck A3 bei x = 1, und für das Rechteck A4 bei x = 2.
  19. Diese Rechtecke liegen vollständig oberhalb des Graphen. Zusammen ergeben sie eine Fläche,
  20. die größer ist als der Flächeninhalt zwischen dem Graphen und der x-Achse. Die Summe der Flächeninhalte der Rechtecke wird Obersumme genannt und mit O4 abgekürzt.
  21. Addiere für die Berechnung der Obersumme die Flächeninhalte der einzelnen Rechtecke. Das Rechteck A1 hat die Breite 0,5 und als Höhe den Funktionswert f(0,5), also 0,5².
  22. Das Rechteck A2 hat die Breite 0,5 und die Höhe 1². Das Rechteck A3 hat die Breite 0,5 und die Höhe 1,5².
  23. Das Rechteck A4 hat die Breite 0,5 und die Höhe 2². Die Obersumme beträgt 3,75 Flächeneinheiten.
  24. Die Fläche, die im Intervall 0 bis 2 von der Normalparabel und der x-Achse eingeschlossen wird, ist mindestens so groß wie die Untersumme
  25. und höchstens so groß wie die Obersumme. Der Flächeninhalt ist also ein Wert zwischen 1,75 und 3,75.

Zum Nachlesen

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