Ober- und Untersumme berechnen | Fundamente der Mathematik | Erklärvideo
Cornelsen Verlag
https://www.youtube.com/watch?v=pDHujnO9nvQ

Transkript (automatisch erstellt)

0:00 In diesem Film lernst du, wie du mithilfe von Ober- und Untersummen näherungsweise die Fläche zwischen dem Graphen einer Funktion und der x-Achse bestimmst.
0:13 Die Normalparabel und die x-Achse schließen im Intervall von 0 bis 2 eine Fläche ein. Nähere diese Fläche durch 4 gleich breite Rechtecke erst von unten und dann von oben an.
0:28 Berechne die Untersumme U4 und die Obersumme O4. Die Fläche, die im Intervall von 0 bis 2 zwischen der Normalparabel und der x Achse liegt,
0:40 hat einen krummlinigen Rand. Der Flächeninhalt kann also nicht mit den üblichen geometrischen Mitteln berechnet werden.
0:48 Du kannst den Flächeninhalt aber durch eine Zerlegung in 4 gleich breite Rechtecke abschätzen. Bestimme zuerst, wie breit jedes der 4 Rechtecke sein muss.
1:00 Teile dazu die Breite des Intervalls durch die Anzahl der geforderten Rechtecke. Also 2:4.
1:08 Jedes Rechteck hat die Breite 0,5. Suche nun 4 Rechtecke der Breite 1/2, die vollständig unterhalb des Graphen liegen.
1:19 Die Höhe der Rechtecke entspricht dem kleinsten Funktionswert im jeweiligen Teilintervall. Dieser Funktionswert wird am linken Rand angenommen:
1:29 für das erste Rechteck also bei x = 0, für das zweite Rechteck bei x = 0,5, für das dritte Rechteck bei x = 1, und für das vierte Rechteck A4 bei x = 1,5.
1:46 Alle Rechtecke liegen vollständig unterhalb des Graphen. Zusammen ergeben sie eine Fläche,
1:53 die kleiner ist als der Flächeninhalt zwischen dem Graphen und der x-Achse. Die Summe der Flächeninhalte der Rechtecke nennt man Untersumme.
2:02 Da das Intervall in 4 Teilintervalle zerlegt ist, kürzt man die Untersumme mit U4 ab. Das erste Rechteck hat die Höhe 0.
2:12 Also ist auch sein Flächeninhalt 0. Das zweite Rechteck hat die Breite 0,5. Die Höhe entspricht dem Funktionswert f(0,5), also 0,5².
2:25 Das dritte Rechteck hat ebenfalls die Breite 0,5. Seine Höhe ist der Funktionswert an der Stelle x = 1.
2:35 Das vierte Rechteck hat die Breite 0,5. Seine Höhe ist der Funktionswert an der Stelle x = 1,5. Addiere nun die 4 Flächeninhalte.
2:48 Die Untersumme hat den Wert 1,75. Suche als nächstes 4 gleich breite Rechtecke, die vollständig oberhalb des Graphen liegen. Auch diese Rechtecke sind 0,5 Längeneinheiten breit.
3:05 Ihre Höhen entsprechen dem größten Funktionswert im jeweiligen Teilintervall. Dieser Funktionswert wird stets am rechten Rand angenommen:
3:15 für das Rechteck A1 also bei x = 0,5, für das Rechteck A2 bei x = 1, für das Rechteck A3 bei x = 1, und für das Rechteck A4 bei x = 2.
3:33 Diese Rechtecke liegen vollständig oberhalb des Graphen. Zusammen ergeben sie eine Fläche,
3:39 die größer ist als der Flächeninhalt zwischen dem Graphen und der x-Achse. Die Summe der Flächeninhalte der Rechtecke wird Obersumme genannt und mit O4 abgekürzt.
3:52 Addiere für die Berechnung der Obersumme die Flächeninhalte der einzelnen Rechtecke. Das Rechteck A1 hat die Breite 0,5 und als Höhe den Funktionswert f(0,5), also 0,5².
4:07 Das Rechteck A2 hat die Breite 0,5 und die Höhe 1². Das Rechteck A3 hat die Breite 0,5 und die Höhe 1,5².
4:21 Das Rechteck A4 hat die Breite 0,5 und die Höhe 2². Die Obersumme beträgt 3,75 Flächeneinheiten.
4:35 Die Fläche, die im Intervall 0 bis 2 von der Normalparabel und der x-Achse eingeschlossen wird, ist mindestens so groß wie die Untersumme
4:45 und höchstens so groß wie die Obersumme. Der Flächeninhalt ist also ein Wert zwischen 1,75 und 3,75.