Ober- und Untersumme
studiVEMINT
https://www.youtube.com/watch?v=i6yhl8ZGtrE

Transkript (automatisch erstellt)

0:04 In diesem Video lernst du, was die Obersumme und die Untersumme sind und wie man diese berechnet. Die brauchst du, wenn du den Flächeninhalt zwischen einem Funktionsgraphen und der x-Achse
0:13 bei komplizierteren Funktionsverläufen exakt bestimmen möchtest, das heißt bei Funktionsgraphen, die wie in diesem Beispiel krummlinig verlaufen.
0:22 Bei konstanten und linearen Funktionen konnten wir den Flächeninhalt zwischen dem Funktionsgraphen und der x-Achse noch leicht bestimmen,
0:28 indem wir Rechtecks- und Dreiecksflächen berechnet haben. Bei andersartigen Funktionen geht das meist nicht mehr.
0:37 Wir wollen aber den Flächeninhalt trotzdem zumindest annähernd bestimmen. Deswegen teilen wir das Intervall mal in gleichlange Teilintervalle auf
0:45 und legen Rechtecke der gleichen Breite hierauf. Hier siehst du, dass der Flächeninhalt dieser Rechtecke
0:51 annähernd so groß ist wie der Flächeninhalt zwischen dem Graphen und der x-Achse. Die Summe dieser Rechtecke wird Obersumme genannt.
0:58 Dabei sollen die Rechtecke jeweils so hoch sein wie der größte Funktionswert im Teilintervall. Genau so können wir auch die Untersumme betrachten.
1:06 Hier sind die Rechtecke immer so hoch wie der kleinste Funktionswert im Teilintervall. Auch hier sehen wir, dass die Summe der Flächeninhalte dieser Rechtecke
1:15 eine Annäherung an den exakten Flächeninhalt zwischen dem Funktionsgraphen und der x-Achse ist. Schauen wir uns die Obersumme an,
1:23 dann sehen wir, dass sie den exakten Flächeninhalt beinhaltet und sogar von den Rechtecken noch Überschüsse übrigbleiben.
1:30 Bei der Untersumme fehlen allerdings immer kleine Stücke zum exakten Flächeninhalt. Anschaulich ist damit klar,
1:37 dass der exakte Wert des Flächeninhalts immer kleiner ist als der Wert der Obersumme, aber größer als der Wert der Untersumme.
1:44 Er wird also von der Ober- und der Untersumme eingeschlossen. Aber wie berechnet man denn jetzt die Ober- und die Untersumme?
1:52 Das schauen wir uns mal für die Funktion f von x gleich x Quadrat plus 3 im Intervall von 0 bis 2 an. Damit wir verstehen, was hier passiert
2:01 und wir uns das gut veranschaulichen können, teilen wir das Intervall erstmal in wenige Teilintervalle ein.
2:07 Wir nehmen hier wie eben schon eingezeichnet 4 gleichlange Teilintervalle, das geht aber auch für 3, 5, 6 oder 10 oder beliebig viele Teilintervalle.
2:16 Berechnen wir dafür zuerst die Obersumme. Das ist genau die Summe der Flächeninhalte dieser 4 Rechtecke.
2:23 Um die Flächeninhalte der einzelnen Rechtecke zu bestimmen, brauchen wir jeweils deren Breite und Höhe.
2:30 Diese Rechtecke haben alle die gleiche Breite, weil wir das Intervall ja in 4 gleichlange Teilintervalle zerlegt haben.
2:36 Um diese Breite zu bestimmen, müssen wir also nur die Länge des gesamten Intervalls durch 4 teilen und erhalten 2 durch 4 und das ist ein Halb.
2:45 Bei der Obersumme wird die Länge der Rechtecke durch den jeweils größten Funktionswert im betrachteten Teilintervall bestimmt.
2:52 Da es sich hier um eine monoton wachsende Funktion handelt, ist das immer am rechten Randpunkt des Teilintervalls.
2:58 Starten wir zur Berechnung der Obersumme mal mit dem ersten Rechteck. Das hat die Breite ein Halb
3:04 und die Länge ist durch diesen Funktionswert gegeben, also durch f von ein Halb.
3:09 Die Fläche dieses Rechtecks beträgt also ein Halb mal f von ein Halb. Für das zweite Rechteck geht das genau so.
3:17 Die Breite ist wieder ein Halb und die Länge ist der Funktionswert an dieser Stelle, also f von 1.
3:23 Dann erhalten wir als Flächeninhalt ein Halb mal f von 1. Das machen wir auch für die anderen Rechtecke.
3:31 Die Obersumme ist nun die Summe dieser Flächeninhalte, also erhalten wir diesen Ausdruck.
3:36 Wir schreiben O mit Index f von 4, um deutlich zu machen, dass das die Obersumme zur Funktion f mit 4 Teilintervallen ist.
3:45 Hier setzen wir jetzt die einzelnen Flächeninhalte ein. Sieht noch etwas kompliziert aus, aber hier kommt ja überall ein Halb vor.
3:53 Das klammern wir mal aus und dann sieht das schon etwas übersichtlicher aus. Jetzt setzen wir die Funktionswerte ein.
4:01 Das können wir jetzt ausrechnen und erhalten insgesamt 39 Viertel, also 9,75. Genau so können wir auch die Untersumme berechnen.
4:14 Für die Berechnung der Untersumme brauchen wir auch wieder die Breite der Rechtecke. Weil wir aber immer noch 4 Teilintervalle betrachten,
4:21 ist das genau wie bei der Obersumme ein Halb für jedes Rechteck. Weil wir aber nun die Untersumme betrachten, müssen wir für die Höhe des Rechtecks
4:29 immer den kleinsten Funktionswert im jeweiligen Teilintervall nehmen. Weil die Funktion monoton wächst, ist das immer der Funktionswert am linken Intervallrand.
4:38 Dann haben wir hier als Untersumme, die wir mit U bezeichnen, ein Halb mal f von 0 plus ein Halb mal f von ein Halb
4:45 plus ein Halb mal f von 1 plus ein Halb mal f von 3 Halbe. Genau wie bei der Obersumme können wir ein Halb ausklammern
4:54 und die Funktionswerte einsetzen und damit das Ergebnis ausrechnen. Wir erhalten für die Untersumme 7,75.
5:02 An dieser Stelle können wir bereits sagen, dass der exakte Wert des Flächeninhalts unter der Kurve, also das Integral von 0 bis 2 über f von x dx
5:12 zwischen 7,75 und 9,75 liegen muss, weil dieser von der Untersumme und der Obersumme eingeschlossen wird.
5:20 Wie wir am Anfang schon kurz gesehen haben, können wir die Ober- und Untersumme auch für andere Anzahlen an Teilintervallen berechnen, zum Beispiel für 10.
5:29 Starten wir mit der Obersumme, die bezeichnen wir mit O_f von 10. Zuerst müssen wir wieder die Breite der Rechtecke bestimmen.
5:37 Das ist ja die Länge der Teilintervalle. Wie lang sind die denn, wenn wir das gesamte Intervall
5:42 in 10 gleichlange Teilintervalle einteilen? Dazu müssen wir die Länge des gesamten Intervalls,
5:52 also 2, durch 10 teilen und erhalten 2 Zehntel. Das schreiben wir wie eben direkt außerhalb der Klammer.
6:01 Hier addieren wir die entsprechenden Funktionswerte, also für die Obersumme die Funktionswerte an den rechten Rändern der Teilintervalle.
6:08 Dazu müssen wir nicht immer die Funktionswerte ablesen, sondern können direkt immer 2 Zehntel weitergehen,
6:14 weil die Teilintervalle ja alle 2 Zehntel lang sind. Das erste Teilintervall geht bis 2 Zehntel,
6:21 das zweite bis 4 Zehntel, das nächste bis 6 Zehntel, und so weiter. Damit wir nicht alles aufschreiben müssen, kürzen wir das mal mit diesen Punkten ab.
6:30 Das letzte Teilintervall endet dann bei 2, also 20 Zehntel. Hier setzen wir wieder die Funktionswerte ein und rechnen diese mit dem Taschenrechner aus
6:40 und erhalten damit 9,08. Das Gleiche machen wir wieder für die Untersumme
6:46 mit den Funktionswerten der linken Ränder der Teilintervalle. Dabei starten wir bei 0 und enden bei 18 Zwanzigstel.
6:55 Dann erhalten wir insgesamt 8,28. Wir konnten den exakten Wert des Flächeninhaltes unter dem Graphen also genauer eingrenzen,
7:03 er muss zwischen 8,28 und 9,08 liegen. Dieses Vorgehen können wir nicht nur für eine kleine Anzahl an Teilintervallen,
7:12 wie hier 4 oder 10, machen, sondern auch für ganz viele Teilintervalle, wie z.B. 50, 100 oder 1000.
7:20 Wir können die Ober- und Untersumme aber auch für eine beliebige Anzahl an Teilintervallen, sagen wir n, bestimmen.
7:27 n soll dabei eine natürliche Zahl sein. Dann erhalten wir eine Formel, in die wir für n jede beliebige natürliche Zahl einsetzen können,
7:36 wodurch wir direkt die Ober- und Untersumme für diese Zahl an Teilintervallen erhalten. Wir haben gerade gesehen, dass wir den exakten Flächeninhalt
7:44 durch mehr Teilintervalle genauer eingrenzen konnten. Wir werden sehen:
7:49 Wenn wir eine immer größere Anzahl an Teilintervallen betrachten, dann können wir den exakten Flächeninhalt unter der Kurve immer genauer eingrenzen.
7:58 In diesem Video hast du gelernt, was Ober- und Untersumme sind und wie man sie bei einer quadratischen Funktion berechnet.
8:06 Das Integral, das heißt der exakte orientierte Flächeninhalt, wird dabei durch die Obersumme und die Untersumme eingegrenzt.
8:13 Da die Funktion im betrachteten Intervall monoton wächst, konnten wir dabei immer mit den Funktionswerten am rechten
8:19 bzw. linken Randpunkt der Teilintervalle arbeiten. Das funktioniert für alle monoton wachsenden Funktionen.
8:27 Umgekehrt können wir Ober- und Untersummen aber auch für monoton fallende Funktionen bestimmen. An welchen Stellen müssen wir denn hier die Funktionswerte betrachten?
8:40 Hier ist es genau anders herum wie bei den monoton wachsenden Funktionen: Für die Obersumme betrachten wir die Funktionswerte am linken Randpunkt
8:49 und für die Untersumme die Funktionswerte am rechten Randpunkt der Teilintervalle. Wir können Ober- und Untersummen sogar für Funktionen berechnen,
8:58 die in manchen Intervallen monoton wachsen und in manchen Intervallen monoton fallen. Wie das geht, zeigen wir dir im weiteren Verlauf des Kapitels im studiVEMINT-Kurs.
9:08 Außerdem wirst du lernen, wie man mithilfe der Ober- und Untersummen für eine beliebige Anzahl n an Teilintervallen
9:15 den orientierten Flächeninhalt zwischen dem Graphen und der x-Achse, also das Integral, nicht nur eingrenzen, sondern exakt bestimmen kann.