Lineares & exponentielles Wachstum
mathemagazin
https://www.youtube.com/watch?v=h9IsYG20mwg

Transkript (automatisch erstellt)

0:00 hi und herzlich willkommen im mathemagazin Thema in diesem Video lineares und exponentielles Wachstum schauen wir uns die beiden Fälle mal an
0:09 worum geht's denn da überhaupt und zwar gehen wir das Ganze mit einem Beispiel an es geht um Taschengeld und um die Vermehrung die Zunahme von Taschengeld
0:19 und zwar täglich wir haben hier auf der einen Seite um uns mal ein Überblick zu verschaffen alles was mit rot ist ist
0:26 lineares Wachstum und alles was hier mit lila ist ist exponentielles Wachstum so wo sind jetzt hier die Unterschiede wir schauen mal in diese Tabelle hier rein
0:35 und zwar haben wir hier die Tage Start also Tag 0 Tag 1 2 3 und so weiter bis z.B Tag 10 und wir starten auf beiden Seiten mit
0:48 30 € und jetzt beim linearen Wachstum bekommen wir jeden Tag 3 € mehr dazu und beim exponentiellen Wachstum vergrößert sich unser Wert
1:04 jeden Tag um 10% wie schaut das dann hier aus beim linearen Wachstum wir starten mit 30 € 3
1:15 € dazu dann haben wir am ersten Tag 33 € am zweiten Tag 36 also von 33 wieder 3 dazu dann wieder drei dazu wir haben am dritt Tag 39 wenn wir das so
1:29 weitermachchen haben wir irgendwann am 10 Tag 60 €. schauen wir uns das ganze mal beim exponentiellen Wachstum an wir haben hier immer + 10% das heißt wir
1:43 haben einen Faktor von 1,1 Faktor 1 ist ja wir bleiben gleich und 1,1 heißt es kommen 10% dazu und wie rechnet man das jetzt wir starten wieder
1:58 mit unseren 30€ an Tag 0 am ersten Tag haben wir dann 30 € Mal 1,1 das hier ist sozusagen unser Ausgangswert unser Grundwert können wir
2:11 auch sagen mal 1,1 das da hinten sind die 10% sind wir bei 33 € wenn wir mal 1 genommen hätten werden wir wieder genau
2:22 bei 30 € und mal 1,1 Faktor größer als 1 heißt wir werden mehr so und jetzt fängt an sich zu unterscheiden weil um auf unser Geld an
2:34 Tag 2 zu kommen nehmen wir jetzt die 33 € und rechnen die wieder mal den Faktor 1,1 und dann kommen wir auf 36,3 € an Tag 3 nehmen wir die 36,3 €
2:52 also jetzt ist das hier unser Ausgangswert und wieder mal 1,1 kommen auf 39,9 und wenn wir das bis zur Tag 10 durchspielen kommen wir auf
3:02 77,8 €. wir haben also insgesamt mehr Euro wenn wir es mit dem exponentiellen machen an Tag 10 gut wir haben auch an
3:13 Tag 3 schon ein bisschen mehr das sind d nur 90 Cent hier unterscheidet sich nicht stark aber hier hinten ist vielleicht auch noch mal gut anzuschauen
3:20 hier sind wir noch gleich hier sind wir dann 0,3 größer beim exponentiellen hier sind wir 0,9 größer also 90 Cent und bei Tag 10 sind wir dann schon
3:34 17,8 € größer weil das der Unterschied zwischen 60 und 77,8 ist also es wird hier immer schneller immer mehr und genau das ist der Unterschied zwischen
3:45 linearem Wachstum und exponentiellen linear geht immer gleich und exponentiell wird immer schneller immer mehr und das sehen wir auch wenn wir uns
3:54 das ganze mal in ein Diagramm in ein Koordinatensystem einzeichnen wir haben hier die T und hier unsere Euro jetzt gehört ja zu
4:02 jedem Tag ein Betrag wir starten dann Tag n0 jeweils mit 30 € Tag 1 33 ich habe jetzt mal nur ungefähr eingezeichnet jetzt nicht alles
4:15 maßstabsgetreu Tag 2 und jetzt sehen wir wenn wir das weiter uns anschauen wir gehen hier immer einen Tag rüber 3 € hoch ein Tag
4:26 rüber 3 € hoch ein Tag rüber 3 € hoch ein Tag rüber 3 hoch also dieser konstante Zuwachs man nennt den auch D seht hier oben ist immer 3 und dadurch
4:36 durch dieses Zickzack nach oben ergibt sich hier eine gerade Linie nach oben beim exponentiellen ist das so wir starten mit 30 Mal 1,1 sind 33 und jetzt
4:51 ist ja von hier wieder mal 1,1 und dadurch ergibt sich eine Kurve nach oben und die wird immer steiler und immer steiler und immer steiler weil
5:04 irgendwann nehmen wir von einem Wert da oben mal 1,1 und das ist natürlich direkt größer wie wenn wir von dem 1,1 nehmen und so wirkt sich das Ganze aus
5:16 am besten versteht man das wenn man das einfach durchspielt so und jetzt noch zu paar mathematischen Themen und zwar diesen
5:24 konstanten Wachstum oder dieses konstante Wachstum D kann man bere indem man zwei benachbarte Werte voneinander subtrahiert den Wert rechts minus den
5:35 Wert links z.B 33- 30 dann ist genau der Unterschied 3 oder wir können auch die nehmen 36- 33 wir können noch 39- 36 also zwei benachbarte Werte voneinander
5:49 abziehen und immer den rechts minus den Links wir spielen hier mal durch in der mathematischen schreib heißt dann t + 1- oder bestand das große B ist Bestand
6:05 t + 1- Bestand von T so jetzt wenn wir hier 0 einsetzen haben wir Bestand beim Zeitpunkt 1 also beim Tag 1
6:19 bestand vom Tag 0 oder ich habe zwei eingesetzt hier unten dann ist es bestand vom Tag 3- bestand vom Tag 2 also standmt 3-
6:33 2 39 - 36 ist 3 dieser Unterschied beim exponentiellen Wachstum haben wir unseren Wachstumsfaktor
6:43 a und den können wir berechnen dem wir zwei benachbarte Werte durcheinander Teilen auch hier wieder den rechts minus den Links und da können wir jetzt ich
6:53 habe es gleiche Beispiel gemacht für T2 einsetzen dann haben wir oben den Bestand bei Zeitpunkt 3 durch dieses + 1 hier unten bestand bei 2 dann haben wir
7:03 39,9 36,2 ist gleich oder muss natürlich unser Wachstumsfaktor 1,1 sein weil das hier wenn wir das mit mal darüber
7:16 bringen würden 1,1 mal unseren Bestand vom Vortag muss ja der Bestand am nächsten Tag sein wir können auch noch ausrechnen wie ist es denn irgendwann in
7:25 der Zukunft also wenn wir hier haben wollen Bestand von 100 wir machen beim linearen Bestand von 0 Plus an dem Tag an dem wir es haben
7:36 wollen mal diesen konstanten Zuwachs also 30 plus und dann kommt ja 100 mal die 3 einfach drauf wenn wir es am Tag 100 haben wollen
7:47 330 und beim exponentiellen da ist es natürlich eine Multiplikation und zwar Wachstumsfaktor hoch wie oft oder an welchem Tag wir es
7:58 haben wollen wir starten wieder mit 30 also B zum Zeitpunkt 0 und dann 1,1 hoch 100 und dann sehen wir wir kommen schon bei 413
8:09 raus also wir sehen bei Tag 100 weicht jetzt noch viel stärker ab als bei Tag 10 wir können natürlich auch negatives Wachstum haben also wenn etwas kleiner
8:19 wird wenn ihr Geld abgeben müsst von eurem Taschengeld dann haben wir natürlich unser D beim linearen Wachstum klein als
8:30 0 wir haben hier immer größer als 0 also + 3 das wären dann z.B immer -3 also d= -3 wä negatives Wachstum man das auch
8:41 lineare Abnahme weil es dann so runtergehen würde und beim exponentiellen Wachstum haben wir dann ein eine exponentielle Abnahme wenn
8:53 unser Wachstumsfaktor a zwischen 0 und ein liegt mit dem 10 % liegt der jetzt bei
9:02 1,1 das ist also größer als ein und wenn er zwischen 0 und 1 liegt z. 0,5 dann halbieren wir uns immer und dann spricht man von einer exponentiellen Abnahme so
9:16 das war's von mir zu dem Thema ich hoffe ich konnte dir weiterhelfen und jetzt viel Spaß beim Verstehen
9:27 ciao