Bestimmtes Integral mithilfe von Ober- und Untersummen | Fundamente der Mathematik | Erklärvideo
Cornelsen Verlag
https://www.youtube.com/watch?v=aeA1gMAwOYw

Transkript (automatisch erstellt)

0:00 In diesem Film lernst du, wie du mithilfe von Ober- und Untersummen ein bestimmtes Integral berechnest.
0:12 Berechne zur Normalparabel im Intervall 0 bis 2 die Obersumme O_n und die Untersumme U_n. Zerlege für die Berechnung der Obersumme O_n das Intervall von 0 bis 2
0:27 in n gleich große Teilintervalle. n ist hierbei eine beliebige natürliche Zahl. Das Ausgangsintervall ist 2 Längeneinheiten lang.
0:37 Also hat jedes Teilintervall eine Länge von 2:n. Bestimme nun die Obersumme. Stelle dir in jedem der n Teilintervalle ein
0:49 Rechteck vor und addiere deren Flächeninhalte. Jedes Rechteck ist so breit wie das zugehörige Teilintervall, und so hoch wie der Funktionswert am rechten Rand des Teilintervalls.
1:03 Schreibe nach und nach alle Flächeninhalte auf: Das erste Rechteck hat eine Breite von 2/n. Seine Höhe ist der Funktionswert am rechten
1:13 Rand des Teilintervalls, also bei 1∙2/n. Das zweite Rechteck ist ebenfalls 2/n breit. Seine Höhe entspricht dem Funktionswert an der Stelle 2∙2/n.
1:27 So geht es weiter. Die Summanden unterscheiden sich dabei nur im Wert des rechten Rands des Teilintervalls. Dieser Rand wird bei jedem Schritt um 2/n erhöht.
1:38 Schreibe zum Schluss den Flächeninhalt des letzten, also des n-ten Rechtecks auf. Es ist 2/n breit und seine Höhe entspricht
1:48 dem Funktionswert an der Stelle n∙2/n. Da in jedem Summanden der Faktor 2/n vorkommt, kannst du diesen Faktor ausklammern. Bilde nun für jeden Summanden den Funktionswert.
2:03 f ist die Quadratfunktion. Also quadrierst du die Argumente. Löse die inneren Klammern auf, indem du die Faktoren, die Zähler und die Nenner einzeln quadrierst.
2:14 Klammere den Faktor 2²/n² aus. Fasse die beiden Faktoren, die vor der Klammer stehen, zusammen.
2:25 Der Ausdruck in der Klammer lässt sich mithilfe einer Summenformel umschreiben. Die Summenformel besagt, dass die Summe der ersten n Quadratzahlen das gleiche ist wie
2:37 dieser Bruch. Multipliziere den Zähler schrittweise aus. Spalte den Bruch in drei Einzelbrüche auf. Beim abschließenden Ausmultiplizieren kannst
2:52 du einige Potenzen von n wegkürzen. Beachte: Das Endergebnis ist keine eindeutige Zahl, sondern abhängig von n, also von der Anzahl der Teilintervalle.
3:06 Mithilfe einer ganz ähnlichen Rechnung lässt sich die Untersumme bestimmen. Der Unterschied ist, dass du für die Untersumme nicht die rechten, sondern die linken
3:18 Intervallränder wählst. Die Untersumme lautet 8/3 minus 4/n plus 4/(3n)². Bestimme nun den Grenzwert von Obersumme und Untersumme für n gegen unendlich.
3:36 Beginne mit der Obersumme. Setze für O_n den eben berechneten Term ein. Im ersten Summanden, 8/3, ist kein n enthalten. Der Wert bleibt also unverändert.
3:49 In den beiden anderen Summanden werden mit wachsendem n die Nenner immer größer und damit die Brüche insgesamt immer kleiner. Sie nähern sich der 0 an.
4:02 Der Grenzwert der Obersumme ist also 8/3. Ganz ähnlich kannst du den Grenzwert der Untersumme berechnen. Das Ergebnis ist ebenfalls 8/3.
4:13 Die Grenzwerte von Obersumme und Untersumme stimmen also überein. Ihr Wert, 8/3, ist das Integral von x² in den Grenzen von 0 bis 2.