Pi verstehen - Ein bisschen zumindest
schoolseasy
https://www.youtube.com/watch?v=WiVFQ8JmVEM

Transkript (automatisch erstellt)

0:00 Fester Bestandteil des Matheunterrichts ist es, Flächeninhalte zu berechnen. Ob das nun ein Quadrat, ein Dreieck oder eine unregelmäßige Figur ist, ist egal.
0:09 In eurem Kopf schwirren dann ein paar Formeln umher, die ihr irgendwie anwendet, um zum Ergebnis zu kommen.
0:14 Vielleicht leuchten euch all diese Formeln auch ein und es fällt euch gar nicht schwer, Flächeninhalte auszurechnen.
0:20 Bis dann eines schönen Tages ein Kreis auftaucht und mit ihm die Kreiszahl π. Auch hier gibt es tolle, einfache Formeln, die ihr hoffentlich auch anwenden könnt,
0:29 aber wie kommt man eigentlich auf π? π ist, wie ihr vielleicht wisst, eine unendliche Zahl die sich nicht wiederholt.
0:45 Das bedeutet dass eigentlich niemand wissen kann, wie sie lautet, da ja niemand unendlich viel Zeit hat, um das herauszufinden.
0:50 Aber natürlich kann man in der Realität auch nicht wirklich etwas mit einer Zahl anfangen, die unendlich viele Stellen nach dem Komma hat.
0:57 Darum steckt hinter dem π, mit dem wir alle rechnen, eine gerundete Zahl. 3,141592654 ist in der Regel das, was euer Taschenrechner euch ausspuckt, wenn ihr die π-Taste drückt.
1:09 Und selbst das ist für das Rechnen in der Schule noch zu viel. 3,14 reicht häufig vollkommen aus.
1:15 Nun stellt sich aber die Frage, wie man auf diese Zahl kommt. Sie scheint nämlich total willkürlich zu sein.
1:21 Warum 3,14 und nicht 5,79 oder 2,32? Wenn ihr wollt, könnt ihr euch mal ein Blatt Papier, einen Zirkel, ein Bleistift und ein
1:29 Geodreieck schnappen - und zur Sicherheit vielleicht auch noch einen Radiergummi - und mal ausprobieren, was ich euch hier zeige.
1:35 Zeichnet einen Kreis, dessen Radius 5 cm beträgt. Für diese Veranschaulichung spielt es keine Rolle, wie groß der Kreis ist, aber damit
1:44 sich euer Arbeitsaufwand in Grenzen hält, bieten sich 5 cm an. Diesen Kreis unterteilt ihr nun in vier gleich große Abschnitte.
1:52 Nehmt euch einen dieser Abschnitte vor und zeichnet fünf Rechtecke ein, die alle 1 cm breit sind.
1:58 Beginnt dabei mit dem längsten Rechteck, welches direkt am Rand des Abschnitts liegt und genauso lang ist, wie der Radius.
2:04 Das nächste Rechteck daneben ist nun so lang, dass es genau auf den Kreis stößt. So fahrt ihr fort, bis ihr fünf Rechtecke eingezeichnet habt, die ein bisschen an eine
2:13 Treppe erinnern. Auf diese Art und Weise habt ihr nun ein Viertel des Kreises komplett mit Rechtecken bedeckt,
2:20 deren Flächeninhalt ihr natürlich ausrechnen könnt. Das nützt uns aber nicht so viel, denn die Rechtecke stehen ja allesamt über den Kreis
2:27 hinaus. Würden wir das im ganzen Kreis so machen, wäre der gesamte Flächeninhalt der Rechtecke
2:32 größer als der des Kreises. Nehmt euch darum mal besser einen zweiten Abschnitt her.
2:37 Hier macht ihr nun fast dasselbe. Dieses Mal liegen aber alle Rechtecke im Kreis.
2:42 Das größte Rechteck ist nun also nicht so lang wie der Radius, sondern nur so lang, dass die Ecke gerade noch auf dem Kreis liegt.
2:49 Wieder erhaltet ihr so eine Art Treppe. Auch hier könnt ihr wieder den Flächeninhalt aller Rechtecke ausrechnen und wieder kann
2:55 der gesamte Flächeninhalt nicht mit dem des Kreises übereinstimmen, da jetzt ja alles kleiner ist.
3:01 Was wäre nun aber, wenn man den Durchschnitt ausrechnet? Die Kreisabschnitte sind ja gleich groß.
3:07 Bei unserem Versuch haben wir zwei Lösungsansätze, die beide nicht stimmen können. Wenn man sie nun miteinander verrechnet, könnte man ja genau dort herauskommen, wo man herauskommen
3:16 will. Zählt darum mal die Flächeninhalte beider Abschnitte zusammen.
3:19 Das ist jetzt natürlich nur ein halber Kreis. Multipliziert euer Ergebnis mit 2.
3:24 Das sollte jetzt in etwa dem Flächeninhalt des ganzen Kreises entsprechen. Vorausgesetzt natürlich, unsere Annahme stimmt.
3:31 Und was hat das jetzt gebracht? Die Formel für den Flächeninhalt eines Kreises lautet A = π*r^2.
3:40 Wir kennen den Radius und wir haben einen möglichen Flächeninhalt. Nehmen wir einmal an, wir wüssten nicht, dass π 3,14 ist.
3:48 Dann würde unsere Aufgabe lauten A = x*r^2. Setzt eure Werte mal ein und rechnet x aus.
3:56 Ihr solltet irgendwo zwischen 3 und 3,3 landen. Das hängt natürlich davon ab, wie genau ihr gezeichnet und gemessen habt.
4:04 Das ist jetzt natürlich kein Beweis für irgendwas, aber eine Erklärung, wie man überhaupt auf π kommt.
4:10 Nehmt ihr die Formel für den Flächeninhalt eines Kreises nämlich wörtlich, so müsst ihr 3,14 mal den Radius ins Quadrat nehmen.
4:18 Ihr zeichnet also drei Quadrate, deren Seitenlänge so groß ist wie der Radius eures Kreises. Bei jedem Kreisabschnitt steht nun ein Stück Quadrat über.
4:27 Würde man diese Stücke abschneiden und in den letzten Kreisabschnitt einfügen bliebe eine Lücke, die genau 0,14 mal so groß ist wie eines der Quadrate.
4:37 Darum rechnet man π*r^2. Diese Erklärung hat mir damals mein Mathelehrer geliefert und sie ist eine der wenigen Dinge,
4:46 die ich aus seinem Unterricht noch weiß, denn sie hat mir beim Verstehen dieser unendlichen Kreiszahl, die so willkürlich aussah, sehr geholfen.
4:53 Ich hoffe, sie hilft euch auch.