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Ganzrationale Funktionen (Polynomfunktionen) - Einführung / Grundlagen
Das Wichtigste aus dem Video
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Transkriptautomatisch erstellt · 55 Zeilen
- Hallo liebe Zuschauer und willkommen zum Thema „Ganzrationale Funktionen“. Dieser Begriff ist ein bisschen speziell, denn das Wort „ganzrational“ ist nicht
- eindeutig. Besser ist unserer Meinung der Begriff „Polynomfunktionen“, so wie er auch in der englischen Sprache benutzt wird, denn das ist treffender. Warum? Das
- sehen wir, wenn wir erklären, was ganzrationale Funktionen sind. Wählen wir uns zuerst eine Gleichung, zum Beispiel
- 3*x^4 + 2*x^3 – x^2 + x – 5 = 0 Das ist ein so genanntes „Polynom“. Ein Polynom besteht aus Koeffizient und Potenz, von denen mehrere in einer Summe stehen können.
- x^4, x^3, x^2, x sind Potenzen, und hier können wir auch noch ergänzen bei der 5 das x^0, denn x^0 = 1 und 1 * 5 = 5. Und übrigens: Wir
- haben hier eine „Polynomgleichung“ hingeschrieben, weil wir hier ist = 0 erwähnt haben. Wenn wir jetzt nur ein Polynom wollen, nehmen wir ist = 0 weg, und das ist jetzt ein Term, der
- ein Polynom darstellt. Und wenn wir jetzt hieraus eine Funktion machen wollen, schreiben wir ein f(x) davor. Jetzt haben wir also eine Polynomfunktion.
- Und jetzt fehlt noch was, damit es richtig ordentlich da steht: Bei diesem -x^2 müssen wir noch eine 1 hinschreiben, also vor jeder Potenz soll ein so genannter „Koeffizient“
- sein. Wir schreiben hier also -1 * x^2, das ist das Gleiche, und wir addieren jeweils alle Potenzen miteinander. Also +, +, + und hier fehlt ebenfalls noch
- ein +; tragen wir das ein: +(-5) Und hier steht das x alleine, was ist hier der Koeffizient? Richtig, auch eine 1.
- So, dann lasst uns jetzt die Koeffizienten einmal rot machen, damit man das besser sieht, und die Potenzen bleiben schwarz. Und hier bei dem x, da können wir auch ein x^1 heranschreiben.
- So, und jetzt haben wir bei den Potenzen, gucken wir auf den Exponenten, 0, 1, 2, 3 und 4, also Natürliche Zahlen. Und das ist eine Voraussetzung für Polynomfunktionen
- beziehungsweise das Gleiche, ganzrationale Funktionen. Also schreiben wir mal auf: Der Exponent muss natürlich sein.
- Und die zweite Sache: Der Koeffizient, also das, was hier rot ist, was vor dem x steht in Multiplikation, dieser Koeffizient muss eine Reelle Zahl sein.
- An der Stelle gehe ich davon aus, dass ihr noch wisst, was reelle Zahlen sind, das hatten wir in der entsprechenden Lektion geklärt.
- Also wir könnten jetzt auch hier eine 2,735 hinschreiben oder einen Bruch, 1/3 oder so; selbst л wäre möglich oder eine Wurzel, das sind
- immer noch Reelle Zahlen. Der Begriff „Koeffizient“ kommt übrigens aus dem Lateinischen und bedeutet „mitwirken“;
- er wirkt als Faktor auf unsere Potenz. Was wir übrigens bei der Potenz nicht machen dürfen: Hier in den Exponenten ein -1, -2,
- -3 zu schreiben, denn dann erhalten wir Brüche, und unsere Variable x würde dann im Nenner stehen, also unten. Dann hätten wir nämlich eine gebrochenrationale Funktion.
- Das sind die ganzrationalen Funktionen. Und die gebrochenrationalen Funktionen erkennen wir daran, dass wir einen negativen Exponenten haben, also x in einem Bruch unten steht.
- g(x) = 1/x, das ist gebrochenrational. x ist im Nenner, beziehungsweise können wir auch x wie folgt schreiben: Ist = x^(-1) Erinnert euch hier an die Potenzregel.
- Und wir sehen, hier steht keine Natürliche Zahl mehr im Exponenten, sondern eine ganze negative Zahl; daher haben wir eine gebrochenrationale Funktion.
- Wir können das hier oben auch verallgemeinern: Wir können hier anstatt 3, 2, -1 und so weiter auch „a“ eintragen. Und die Exponenten können wir ebenfalls verallgemeinern.
- Das machen wir dann wie folgt: Sagen wir allgemein f(x) =, und nun nehmen wir das von oben runter und ersetzen hier a, und das ist ja der Koeffizient
- der Potenz x^4, also schreiben wir mit Index, damit man den Wert zuordnen kann, eine kleine 4. Also das ist der Koeffizient für das x^4.
- Dann kommt der Koeffizient für das x^3, also schreiben wir hier a_3. Dann kommen wir zu -1 bei dem x^2, richtig, da nehmen wir a_2 * x^2.
- Und hier haben wir das x^1, das heißt, wir schreiben hier a_1 * x^1. Und hier als letztes, das ist bei x^0, also schreiben wir hier a_0.
- Und schon haben wir die allgemeine Form dieses Polynoms, und da hier die höchste Potenz, der größte Exponent 4 ist, nennen wir das ein „Polynom 4. Grades“.
- Ja, schreiben wir mal kurz hin „Polynom 4. Grades“, weil hier 4 der größte Exponent ist.
- Hätten wir nur so eine Funktion, dann wäre das hier 3. Grades. Gut, jetzt können wir das noch weiter verallgemeinern, denn wir könnten ja auch ein x^5, x^7, x^20
- dabei haben. Das heißt, wir verändern das hier, wir schreiben ein x^n hin, denn wir wissen ja noch nicht, wie viele wir haben. Das heißt, wir könnten jetzt hier eine 20
- einsetzen und dann auch hier eine 20. Und mit dem n ist das also ganz allgemein, irgendeine Potenz mit ihrem dazu gehörigen Koeffizienten.
- Und jetzt schreibt man dann, um die Richtung anzuzeigen, also dass das n kleiner wird, diesen Term hier nochmal hin, aber man schreibt jetzt, da es ja nicht der gleiche nochmal
- sein soll, eine -1 da hin. Damit macht man deutlich, dass, wenn wir jetzt hier zum Beispiel die 20 für n eintragen, hier dann ebenfalls die 20 eingesetzt wird und dann hier steht
- a_19; Gleiches natürlich für den Exponenten: 20 – 1 = 19. Und hier natürlich auch noch die 20. Ihr seht, damit, mit diesem n-1 im Index und
- im Exponenten erschaffen wir den folgenden Term. So, nochmal zurück, also a_n * x^n + a_(n-1) * x^(n-1) + noch weitere
- Potenzen + a_1 * x^1 + a_0 * x^0, das ist das letzte Element, der letzte Summand. Und wenn ihr so etwas seht, dann ist das eine ganzrationale Funktion beziehungsweise Polynomfunktion.
- Achtet also darauf, dass ihr Potenzen von x habt mit natürlichem Exponenten, jeweils einem reellen Koeffizienten davor, und alle müssen in einer Summe stehen. Dann ist es
- eine ganzrationale Funktion. Die bekanntesten ganzrationalen Funktionen sind übrigens, wenn wir das mal hier wegnehmen,
- das x^3 und das x^4, was bleibt hier stehen? Einmal x^2, dann ein x und dann x^0, das natürlich wegfällt zu 1 und dann -5 da steht. Und diese kennt ihr, was ist das? Richtig, die „quadratische
- Funktion“. Also bekannt ist: Quadratische Funktion. Und wenn wir das jetzt nochmal hier hinkopieren, was ist weiterhin bekannt?
- Wenn wir mal das x^2 wegmachen, dann haben wir hier ein x da zu stehen und -5. Was war das? Nur eine Variable. Erinnert euch, wenn wir das zeichnen würden, wäre das ein
- linearer Graph, eine Gerade, und wir sprechen von „linearer Funktion“, richtig: Lineare Funktion.
- Die beiden kennt ihr, das sind die bekanntesten, und ihr seht: So fremd ist das Thema gar nicht. Wenn wir jetzt ein x^3 hinzufügen würden, haben wir dann die „kubischen Funktionen“;
- schreiben wir das noch hier hin, ziehen lineare Funktionen noch nach oben, dann kommt quadratische, jetzt die kubische. Und schon haben wir die kubische Funktion.
- Achtet bitte darauf: Es kann auch mal sein, dass zum Beispiel x^1 nicht mitgeschrieben ist hier an der Stelle. Dann habt ihr also x^2 - 5 da zu stehen. Trotzdem, wenn ihr euch
- hier die Variable anschaut, haben wir hier als größten Exponenten die 2. Daher wissen wir, es ist eine quadratische Funktion.
- Und wenn das so da steht, ist das immer noch eine quadratische Funktion. Und wer sich jetzt fragt: Ja, wo sind denn hier die anderen Koeffizienten und Potenzen
- hin? Dem kann man sagen: Die wurden durch die 0, das ist der Koeffizient, so zu sagen eliminiert. Das sieht dann so aus. Das wäre so zu sagen die ausgeschriebene Funktion,
- also sauber geschrieben mit den 1, 2, 3 Koeffizienten und unseren 3 Potenzen 2, 1 und 0. Die fallen weg, und es bleibt -x^2 stehen.
- Okay, jetzt wisst ihr, was ganzrationale Funktionen sind beziehungsweise Polynomfunktionen. Meist wird euch die Aufgabe gestellt, die Nullstellen zu berechnen.
- Also wenn wir das jetzt hier ist = 0 setzen oder das hier ist = 0 setzen oder das hier ist = 0 setzen, wie kommen wir auf das entsprechende x, das dann diese Gleichung erfüllt oder
- diese Gleichung oder diese Gleichung? Und hier haben wir schon ein paar Videos für euch gemacht zu den linearen Funktionen und quadratischen Funktionen und auch zu den kubischen
- Funktionen. Bei den linearen Funktionen muss man nur umstellen, um auf das x zu kommen. Das ist einfach, schauen wir uns das nochmal
- im nächsten Teil an.
Zum Nachlesen
PolynomExponenten der Potenzen sind natürliche Zahlen. Die Summe ist außerdem stets endlich. Unendliche Summen von Vielfachen von Potenzen mit natürlichzahligen …
Ganzrationale FunktionEine ganzrationale Funktion oder Polynomfunktion ist in der Mathematik eine Funktion, die als Summe von Potenzfunktionen mit natürlichen Exponenten …
Rationale FunktionEine rationale Funktion ist in der Mathematik eine Funktion, die als Quotient zweier Polynomfunktionen darstellbar ist. Sie kann also geschrieben werden als.
Grad (Polynom)Der Grad eines Polynoms in einer Variablen ist in der Mathematik der größte Exponent in dessen Standarddarstellung als Summe von Monomen.