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Binomialkoeffizient verstehen - einfaches Beispiel - Erklärung
Das Wichtigste aus dem Video
Tipp auf eine Zeit – das Video springt genau dorthin.
Transkriptautomatisch erstellt · 38 Zeilen
- In diesem Video geht es um den Binomialkoeffizienten. Dieser ermöglicht uns, die Anzahl bestimmter Möglichkeiten einfach und schnell zu bestimmen.
- Am besten erkläre ich Euch den Binomialkoeffizienten an einem Beispiel. Wir wollen wissen, wie viele Möglichkeiten es gibt, aus einer Menge von 5 Personen 3
- Personen auszuwählen. Das ganze machen wir natürlich ohne „zurücklegen“ und ohne Beachtung der Reihenfolge.
- Es darf also nicht die gleiche Person mehrfach in einer Gruppe sein und wir machen keinen Unterschied, ob eine Gruppe aus Person A, B und C oder B, A und C oder C, B und A und
- so weiter besteht. Diese Kombinationen fassen wir als eine Möglichkeit zusammen.
- Bei dieser einfachen Aufgabe könnten wir jetzt ohne Probleme alle Möglichkeiten notieren und durchzählen.
- Für größere Mengen wird diese Vorgehensweise aber nahezu unmöglich. Ein weiterer Ansatz wäre ein Baumdiagramm, erfordert jedoch weitere Überlegungen und
- wird ebenfalls sehr schnell unübersichtlich und aufwendig. Für unsere einfache Aufgabe würde das bereits so aussehen.
- Trotzdem sehen wir uns das Baumdiagramm mal genauer an, denn es hilft uns beim Verständnis des Binomialkoeffizienten.
- In der ersten Stufe wählen wir die erste Person der Dreiergruppe aus. Hierfür gibt es 5 Möglichkeiten.
- Person A, B, C, D oder E. In der zweiten Stufe wählen wir die zweite Person aus.
- Jetzt bleiben jeweils nur noch 4 Möglichkeiten, da ja eine Person bereits gewählt wurde. In der dritten Stufe wählen wir die dritte Person.
- Diesmal bleiben nur noch 3 Möglichkeiten übrig und die Gruppe ist voll. Die Anzahl der Pfade entspricht jetzt der Anzahl der möglichen Dreiergruppen und lässt
- sich mit 5 * 4 * 3 = 60 berechnen. Aber Vorsicht.
- Wir haben ja gesagt, dass die Reihenfolge innerhalb einer Gruppe keine Rolle spielen soll.
- Also werden beispielsweise die Pfade A-C-D, A-D-C, D-A-C, D-C-A, C-A-D und C-D-A bei unserer Aufgabe zu einer Möglichkeit zusammengefasst.
- Würden wir uns jetzt das Baumdiagramm genauer ansehen, würden wir feststellen, dass es für jede Dreiergruppe genau 6 Möglichkeiten gibt die 3 Personen unterschiedlich anzuordnen.
- Das kann man sich am einfachsten vorstellen, wenn man sich die Reihenfolge der drei Personen innerhalb einer Gruppe als Positionen vorstellt.
- Für die erste Position stehen noch alle 3 Personen zur Verfügung. Für die zweite Position noch 2, da ja eine Person bereits weg ist und für die letzte
- Position bleibt letztendlich nur noch eine Person übrig. Insgesamt gibt es also 3 * 2 * 1 = 6 Möglichkeiten, die 3 Personen anzuordnen.
- Anstatt 3 * 2 * 1 schreiben wir kurz 3!. Eine 3 mit Ausrufezeichen, gesprochen 3 Fakultät.
- Diese Schreibweise sollte Dir bekannt sein. Falls nicht, schau Dir unser Video „Fakultät“ an.
- Allgemein kann man sagen, es gibt n! Möglichkeiten, n Objekte unterschiedlich anzuordnen.
- Zurück zu unserm Baumdiagramm. Nach alldem, was wir uns gerade überlegt haben, müssen wir jetzt also die 60 Pfade
- durch 6 teilen und erhalten so unser Ergebnis. Es gibt also 10 Möglichkeiten, aus 5 Personen 3 Personen auszuwählen.
- Die gute Nachricht, mit dem Binomialkoeffizienten geht das viel einfacher. Allgemein gilt: n über k gleich n!
- durch k! mal (n-k)!. „n“ ist in unserem Fall 5 und k 3.
- Also 5 über 3. Wir wollen wissen, auf wie viele verschiedene Arten man 3 Objekte aus einer Menge von 5
- verschiedenen Objekten auswählen kann, in diesem Fall Personen. Auf der rechten Seite des Gleichheitszeichens sieht das dann so aus.
- Das vergleichen wir jetzt mit unseren Überlegungen am Baumdiagramm. 5!
- Durch (5-3)! Ist das gleiche wie 5 * 4 * 3 * 2 * 1 durch 2!, also 2 * 1.
- Und das ist 5 * 4 * 3 = 60. Das kommt uns bekannt vor.
- Das war nämlich die Anzahl unserer Pfade. Damit die Reihenfolge beziehungsweise die Anordnung der Personen innerhalb einer Gruppe
- keine Rolle mehr spielt, haben wir eben noch durch 6 geteilt beziehungsweise durch 3! geteilt.
- Und genau das finden wir auch in unserer Formel wieder. Wir teilen durch 3!.
- Berechnet man das Ganze, kommt ebenfalls 10 heraus. Der Binomialkoeffizient ist eine enorme Erleichterung, dennoch kann es nicht schaden die Zusammenhänge
- und die Logik verstanden zu haben. Weitere Beispiele, Sonderfälle und Besonderheiten zeigen wir Dir in dem Video „Binomialkoeffizient
- Beispiele“. von6auf1 - Dein kostenloses Lernportal - www.von6auf1.de
Zum Nachlesen
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