Binomialkoeffizient verstehen - einfaches Beispiel - Erklärung
von6auf1
https://www.youtube.com/watch?v=TeOzV6DZhW4

Transkript (automatisch erstellt)

0:10 In diesem Video geht es um den Binomialkoeffizienten. Dieser ermöglicht uns, die Anzahl bestimmter Möglichkeiten einfach und schnell zu bestimmen.
0:19 Am besten erkläre ich Euch den Binomialkoeffizienten an einem Beispiel. Wir wollen wissen, wie viele Möglichkeiten es gibt, aus einer Menge von 5 Personen 3
0:29 Personen auszuwählen. Das ganze machen wir natürlich ohne „zurücklegen“ und ohne Beachtung der Reihenfolge.
0:37 Es darf also nicht die gleiche Person mehrfach in einer Gruppe sein und wir machen keinen Unterschied, ob eine Gruppe aus Person A, B und C oder B, A und C oder C, B und A und
0:50 so weiter besteht. Diese Kombinationen fassen wir als eine Möglichkeit zusammen.
0:55 Bei dieser einfachen Aufgabe könnten wir jetzt ohne Probleme alle Möglichkeiten notieren und durchzählen.
1:03 Für größere Mengen wird diese Vorgehensweise aber nahezu unmöglich. Ein weiterer Ansatz wäre ein Baumdiagramm, erfordert jedoch weitere Überlegungen und
1:12 wird ebenfalls sehr schnell unübersichtlich und aufwendig. Für unsere einfache Aufgabe würde das bereits so aussehen.
1:21 Trotzdem sehen wir uns das Baumdiagramm mal genauer an, denn es hilft uns beim Verständnis des Binomialkoeffizienten.
1:29 In der ersten Stufe wählen wir die erste Person der Dreiergruppe aus. Hierfür gibt es 5 Möglichkeiten.
1:35 Person A, B, C, D oder E. In der zweiten Stufe wählen wir die zweite Person aus.
1:44 Jetzt bleiben jeweils nur noch 4 Möglichkeiten, da ja eine Person bereits gewählt wurde. In der dritten Stufe wählen wir die dritte Person.
1:53 Diesmal bleiben nur noch 3 Möglichkeiten übrig und die Gruppe ist voll. Die Anzahl der Pfade entspricht jetzt der Anzahl der möglichen Dreiergruppen und lässt
2:03 sich mit 5 * 4 * 3 = 60 berechnen. Aber Vorsicht.
2:08 Wir haben ja gesagt, dass die Reihenfolge innerhalb einer Gruppe keine Rolle spielen soll.
2:13 Also werden beispielsweise die Pfade A-C-D, A-D-C, D-A-C, D-C-A, C-A-D und C-D-A bei unserer Aufgabe zu einer Möglichkeit zusammengefasst.
2:29 Würden wir uns jetzt das Baumdiagramm genauer ansehen, würden wir feststellen, dass es für jede Dreiergruppe genau 6 Möglichkeiten gibt die 3 Personen unterschiedlich anzuordnen.
2:40 Das kann man sich am einfachsten vorstellen, wenn man sich die Reihenfolge der drei Personen innerhalb einer Gruppe als Positionen vorstellt.
2:48 Für die erste Position stehen noch alle 3 Personen zur Verfügung. Für die zweite Position noch 2, da ja eine Person bereits weg ist und für die letzte
2:58 Position bleibt letztendlich nur noch eine Person übrig. Insgesamt gibt es also 3 * 2 * 1 = 6 Möglichkeiten, die 3 Personen anzuordnen.
3:10 Anstatt 3 * 2 * 1 schreiben wir kurz 3!. Eine 3 mit Ausrufezeichen, gesprochen 3 Fakultät.
3:19 Diese Schreibweise sollte Dir bekannt sein. Falls nicht, schau Dir unser Video „Fakultät“ an.
3:26 Allgemein kann man sagen, es gibt n! Möglichkeiten, n Objekte unterschiedlich anzuordnen.
3:32 Zurück zu unserm Baumdiagramm. Nach alldem, was wir uns gerade überlegt haben, müssen wir jetzt also die 60 Pfade
3:40 durch 6 teilen und erhalten so unser Ergebnis. Es gibt also 10 Möglichkeiten, aus 5 Personen 3 Personen auszuwählen.
3:49 Die gute Nachricht, mit dem Binomialkoeffizienten geht das viel einfacher. Allgemein gilt: n über k gleich n!
3:59 durch k! mal (n-k)!. „n“ ist in unserem Fall 5 und k 3.
4:07 Also 5 über 3. Wir wollen wissen, auf wie viele verschiedene Arten man 3 Objekte aus einer Menge von 5
4:14 verschiedenen Objekten auswählen kann, in diesem Fall Personen. Auf der rechten Seite des Gleichheitszeichens sieht das dann so aus.
4:23 Das vergleichen wir jetzt mit unseren Überlegungen am Baumdiagramm. 5!
4:28 Durch (5-3)! Ist das gleiche wie 5 * 4 * 3 * 2 * 1 durch 2!, also 2 * 1.
4:40 Und das ist 5 * 4 * 3 = 60. Das kommt uns bekannt vor.
4:46 Das war nämlich die Anzahl unserer Pfade. Damit die Reihenfolge beziehungsweise die Anordnung der Personen innerhalb einer Gruppe
4:54 keine Rolle mehr spielt, haben wir eben noch durch 6 geteilt beziehungsweise durch 3! geteilt.
5:00 Und genau das finden wir auch in unserer Formel wieder. Wir teilen durch 3!.
5:06 Berechnet man das Ganze, kommt ebenfalls 10 heraus. Der Binomialkoeffizient ist eine enorme Erleichterung, dennoch kann es nicht schaden die Zusammenhänge
5:15 und die Logik verstanden zu haben. Weitere Beispiele, Sonderfälle und Besonderheiten zeigen wir Dir in dem Video „Binomialkoeffizient
5:23 Beispiele“. von6auf1 - Dein kostenloses Lernportal - www.von6auf1.de