Abstand windschiefer Geraden - Lösung mit Hilfsebene, schneller Lösungsweg
Kochrezepte für Mathematik
https://www.youtube.com/watch?v=HMuacGGXHyE

Transkript (automatisch erstellt)

0:00 im diesem tutorial werden wir uns anschauen wie man den abstand wien schiefer geraten mit hilfe einer hebamme bestimmen kann
0:06 das ist einer der drei wichtigsten lösungsansätze für dieses problem und zwar einer der schnellsten tutorials zu den anderen lösungswege findet ihr am
0:16 ende im abspann bevor wir uns das ganze schrittweise anhand einer beispiel aufgabe anschauen werden will ich zuerst diesen lösungsansatz anhand einer
0:26 planskizze kurz erläutern wir haben also zwei winziger geraten hier schematisch dargestellt mit g und h bei diesen lösungsansatz tut man einer
0:36 dieser geraten zbh in eine ebene ist so dass die andere gerade g parallel zu dieser ebene liegt weil die gerade ge und die ebene parallel zueinander sind
0:48 heißt das indirekt dass überall die gleiche abstand herrscht und weil h in der ebene e liegt wird der abstand zwischen gdi denn die seien mit dem
0:58 abstand der windschiefen geraten also müssen wir praktisch nur den abstand zwischen der geraden ge und der ebene ausrechnen
1:06 und das kriegen wir sehr einfach hin indem wir einfach ein punkt von geh wählen zum beispiel den stützpunkt und von diesem punkt aus den abstand zu der
1:17 ebene ausrichten beispielweise mit der hessische normalform das wäre dann der kürzeste lösungsweg ist ja klar dass für den einen oder anderen von euch dieser
1:26 kurze wegbeschreibung zu kurz war deshalb schaut durch gleich die beispiel aufgabe an ich glaube spitzen dann hat sich die sache
1:35 und hier ist unser beispiel aufgabe wir haben dann zwei villen schäfer geraden g und h und wir möchten den abstand dieser windschiefen gerade bestimmen
1:43 für besseren verständnis werde ich noch für die einzelnen schritte dieser planskizze benutzen die wir bereits angeschaut haben
1:51 und für den fall dass ihr euch erinnert wir haben ja gesagt als er ist das brauchen wir dieser hilfs ebene und dann haben die planskizze haben wir
1:59 entschieden dass die gerade h in dieser ebene liegt das wäre ja auch unser erster schritt hilft ebene aufstellen sodass h in der ebene liegt umgehe
2:09 parallel zu ass natürlich kann man das ganze auch andersrum machen das gehen parallel zu ist aber man muss sie am besten man entscheidet sich für einen
2:16 weg und den sieht man immer durch außerdem haben wir vorher erwähnt dass wir irgendwann man den abstand zwischen punkte und ebene e bestimmen werden und
2:26 für ab standpunkt ebene braucht man auf jeden fall eine ebene entweder in normalen form oder koordinaten formen egal welcher dieser form wird nehmen
2:34 oder wählen wir brauchen ein normal vector deshalb versuchen wir uns anhand dieser platz gibt es ja diese normal vector
2:41 vorzustellen also da wird natürlich so aussehen und diese normal weg da steht natürlich orthogonal zu der ebene unten das ist ja klar sieht man auch am
2:51 schaubild aber weil die gerade g parallel zu der ebene entsteht dann wird diese normal vector ebenfalls noch orthogonal zu der gerade sein
3:03 das bedeutet diese normal vector steht einmal orthogonal zum richtungswechsel geraten h und gleichzeitig noch original zum richtungswechsel der geraden g
3:13 das hilft uns ein bisschen weiter und zwar um and zu bestimmen müssen wir dann einfach nur das kreuz produkt zwischen den zwei richtungs vektoren bilden also
3:23 das sind die richtung sektoren der geraden g und h ohne skript oder weg der produkt zwischen diese zwei faktoren ergibt genau unseren normal vector und
3:32 das ist auch unser erster schritt also zuerst als ansatz ihn ist dann das produkt zwischen den erste richtung sektor der vg und der richtungswechsel
3:47 geraten haben 2011 bei diesen kreuz oder vector produkt gibt es mehrere möglichkeiten ist auszurechnen ich werde jetzt so die klassische
3:57 benutzen wo man diese zwei faktoren zwei mal untereinander schreibt und das ganze dann über kreuz miteinander multipliziert könnte auch die formel
4:05 nehmen oder andere eselsbrücken was auch immer ihren unterricht gelernt habt also jede vector wird zwei mal untereinander geschrieben 20
4:13 - 1 nochmal 20 - 1 die erste und die letzte zeile wird weggestrichen und dann fangen wir an über größe multiplizieren also erstmal 1 x -1 sind - 1 dann kommt
4:26 die minuszeichen und minus 10 danach können wir zusammen fassen - 1 x 2 sind - 24 mal - 1 sind - 4 und die letzte runde viermal nun sind 0 - 1 x 2
4:43 sind zwei wenn wir das ganze zusammenfassend dann haben wir unsere x factor und er lautet -1 dann haben wir - zwei plus vier sind natürlich zwei und
4:55 minus zwei und dann trage ich auch hier als ergebnis sei gut so wir wollen eine ebene aufstellen und wir haben jetzt schon ein normal vector dafür an dieser
5:07 stelle gibt es zwei möglichkeiten entweder stellt man einen normalen form auf oder eine koordinate in form ich werde mich jetzt für eine koordinaten
5:15 form entscheiden weil es einfach ein bisschen einfacher zu rechnen ist das heißt zur erinnerung bei eine koordinate in form sind die koordinaten
5:22 des normal victors einfach die koeffizienten von x1 x2 und x3 das heißt die ebene sieht dann automatisch so aus - 1x1 plus 2x 2 - 2
5:36 x3 ist gleich bbs noch unbekannte die wir jetzt noch bestimmen müssen und an dieser stelle müssen wir ein bisschen aufpassen also wir haben bis
5:48 jetzt nur der normale vector wir müssen die ebene bestimmen wo die gerade hab mir liegt und dafür umfassendem wert für bay zu bestimmen nehmen wir den stütz
6:00 vector von h also das hier ist der stets weg davon h das kann man auch als orts vector von einem punkt sehen ich kann ihnen auch als punkt es von stets vector
6:12 bezeichnen und der hat die koordinaten 0 - 4 und 8 und dieser punkt wird jetzt in dieser ebene eingesetzt um passen wert für b zu bestimmen
6:23 damit haben wir dann - 1 x 0 plus zweimal - 4 - 2 x 8 das gleiche und das ganze kann man noch zusammen fassen das ist null
6:40 hier habe ich - 8 hinten habe ich - 16 - sagt - 16 -24 und somit haben wir auch ein passendes wert für b und können die ebenen noch mal hier an der seite sauber
6:53 hinschreiben also die hilfs ebene die wir gebraucht haben lautet x1 plus 2x 2 - 2 x3 ist gleich - 24 und das war ja schon der schwierigste
7:12 teil eigentlich jetzt im zweiten und letzten schritt müssen wir nur noch den abstand zwischen den punkt dazu können wir zum beispiel den stütz sektor von
7:20 geh wählen und die ebene natürlich mit der hessischen normalen von christa mit schnellsten gut zu übersicht schreibe ich noch mal kurz die sachen hin also
7:29 die ebene nur mal kurz von oben abgeschrieben damit wir sie gleich verwenden können - x1 +2 22 x3 ist denn gleich - 24
7:44 und dieser punkt b beziehungsweise stütz vector von ge haben wir hier an dieser stelle dass es - 1 3 und 5 schreibe ich noch als punkte
7:56 wir hätten an dieser stelle zwei möglichkeiten gehabt wie bereits erwähnt ich hätte jetzt auch die normale form aufstellen können ich habe mich jetzt
8:03 für die koordinaten form entschieden das bedeutet wir brauchen auch die passende hessische normalen form zur erinnerung rechts unten die formel
8:13 abgebildet die formal war ganz einfach zu verwenden oben im zähler wird der p&i in die ebene eingesetzt und unten nenner wird die
8:22 länge des normal weg das bestimmt also das machen wir jetzt auch wir sagen dann einfach die den abstand bis gleich also ein zählappell einsetzung für designs x5
8:33 x3 wir haben dann -1 klammer auf minus 1 + 2 x 3 und minus 2 x 5 und die - 24 von der rechten seite wird mit plus auf die
8:48 andere seite gebracht und dann haben wir hier entsprechend +24 alles im betrag und das ganze durch die länge des normal vectus das heißt für uns wurzel aus
9:01 jeder einzelne koordinate ins quadrat die summe davon die negativen vorzeichen kann man auch ignorieren und wenn wir was auch zwei
9:08 nehmen wird sowieso alles positiv deshalb haben wir eins quadrat +2 ins quadrat plus noch mal zwei ins quadrat und jetzt fassen wir alles zusammen
9:18 ob einen zähler minus -1 +11 6 7 und 7 - 10 10 - 3 dann am ende noch +24 also haben wir nur 21 eine positive zahl die betrag stieg
9:33 er werden jetzt nicht mehr benötigt und unten den nenner haben wir wurzel aus neun wurde das 19 natürlich 3 und wenn wir jetzt das ganze aus rechnung haben
9:46 wir 21 geteilt durch 3 sind natürlich 7 und das sind offiziell dann sieben lenkt einheiten und das gleichzeitig von uns gesuchte abstand zwischen dieser zwei
9:59 binnenschiffe geraten zum schluss noch ein paar hinweise wir bereits gemerkt habt ist das relativ kurzer und schneller lösungsweg
10:09 allerdings darf man ihnen nicht immer anwenden es hängt von der aufgabenstellung ab dieser lösungsweg ist dann anzuwenden wenn die sogenannten
10:18 lauf punkte nicht in der aufgabenstellung verlangt oder gesucht sind dann dürfte es nehmen also wenn nur der reine abstand gesucht ist könnt ihr
10:25 das problemlos verwenden alternativ wenn dieser lauf punkte gesucht sind muss die natürlich in längeren lösungsweg wählen
10:32 in zusammenhang mit dieses abstands problemen gibt es noch weitere abstand und natürlich von bedeutung sind wie zb ab standpunkt ebene was wir auch hier
10:42 zwischendurch gebraucht haben beispielsweise mit der hessischen normalen form aber auch abstand punkt gerade wenn
10:49 bedarf tutorials zu alle dieser dem findet ihr gleich im abspann