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Ableitung von e^x – Exponentialfunktion ableiten
Das Wichtigste aus dem Video
Tipp auf eine Zeit – das Video springt genau dorthin.
Transkriptautomatisch erstellt · 38 Zeilen
- Manchmal muss es scheinbar echt kompliziert sein. Man kann jede Zahl auch irgendwas rechnen, aber nee, warum nicht einfach trotzdem andauerndes doof
- E nehmen? Geil, denkt ihr euch mal wieder pure Schikane vom Lehrer. Diesmal nicht. Warum die E-Funktion nämlich besonders ist, was die so nützlich
- macht, zeigen wir euch. [Musik] Es hat was mit der Ableitung zu tun und nicht nur ein bisschen, sondern ziemlich
- viel. Jo, warte, was war die Ableitung noch mal? Wenn ihr keinen Schimmer habt, schaut noch mal unser Video dazu. Die normale Funktion gibt euch ja einfach
- die Höhe über der X-Achse an jeder Stelle an. Die Ableitung gibt die Steigung an der gleichen Stelle an. Bisher haben wir das mit xen mit
- irgendwas als Hochzahl gemacht. Da war die einzige und leichte Regel Hochzahl vorziehen und oben die Hochzahl Grad -1. Kann es denn sein, dass es diesmal
- vielleicht wieder so geht? Einfach Hochzahl vor und oben eins abziehen. Oh Gott, das wäre so geil. Nope, noch viel einfacher. What? Die Ableitung von e
- hoch x, die ist wieder e hoch x. Genauso ist natürlich jede Zahl mal e hoch x auch abgeleitet wieder das gleiche, weil Vorfaktoren ja einfach stehen bleiben.
- Geilo, das ist auch der Grund, warum die E-Funktion so oft benutzt wird. Jo, danke fürs Zuschauen, sagt den Gruß, haut rein und bla bla bla.
- Okay, ganz so leicht kommt ihr uns nicht davon. Keine Panik, es tut überhaupt nicht weh. Was wir wissen wollen, wie geht's, wenn da oben nicht einfach nur
- ein X steht, sondern z.B. 3x + 3. Dann brauchen wir noch was. Aber was genau? Dann machen wir das doch am besten mal an dem Beispiel. Zuerst schreiben wir
- wieder den Term drin hin. Der bleibt nämlich echt immer genauso stehen, egal ob was oben um das X rumsteht oder nicht. Aber wir lassen mal noch bisschen
- Platz davor, weil jetzt brauchen wir noch die innere Ableitung, denn wir nehmen hier die Kettenregel. Was das ist, könnt ihr euch am besten noch mal
- im Video zu den drei Ableitungsregeln reinziehen. Wir gucken uns nämlich das, was oben beim E steht, genauer an, den
- Exponenten. Also, wir nennen den Term, der da oben steht, einfach mal g von x. Ist ja auch sowas wie eine Funktion. Und die leiten wir jetzt nämlich ab und
- schreiben von dem die Ableitung einfach vor. Was macht 3x + 3 abgeleitet? Das all Teil gibt abgeleitet einfach 3. Ja, und
- die drei schreiben wir jetzt vor das ech 3x + 3. Tada, das ist unsere Ableitung. E hoch 3x + 3 gibt also abgeleitet 3e hoch 3x + 3.
- Wir merken uns, lautet unsere Funktion f von x = e hoch irgendeine Funktion, dann kommen wir folgendermaßen auf die Ableitung. Der E-Term bleibt stehen, den
- schreiben wir einfach ab und dann gucken wir uns das G von X an und leiten es ab. Nur damit wir nichts Wichtiges vergessen, machen wir das am besten in
- der Nebenrechnung und schreiben das, was rauskommt, gerade vor die E-Funktion. TB. Am besten noch mal gleichen Beispiel dazu. Ja, wie sieht's denn mit e hoch 2x
- + 5 aus? Zuerst wieder, der e-Term bleibt stehen. Also schon mal e hoch 2x + 5. Jetzt gucken wir uns das g von x an. Da stehen 2x + 5. Easy peasy. Die
- Ableitung davon ist 2. Tip top, die schreiben wir davor. Und damit haben wir das Ding auch abgeleitet. Vorsichtig müsst ihr sein bei e hoch -x.
- Da vergisst man nämlich schnell mal, dass das auch eine innere Ableitung hat. Sagen wir aus eigener schmerzlich Erfahrung, weil e hoch -x ist das
- gleiche wie e hoch -1* x. Und wie litet man das ab? Genau. Erstmal e hoch - x wieder hinschreiben und dann die innere
- Ableitung ausrechnen. Das wäre -1. Schreiben wir davor wieder. Die 1 kann man natürlich wieder weglassen. Die Ableitung von e hoch -x ist also - e
- hoch -x. Ansonsten ist das e hoch x wie jede andere Funktion mit x. Bei Produkten müsst ihr z.B. die Produktregel machen.
- So wie hier bei x hoch 3 + 5 x e hoch x. Zuerst die einzelnen Ableitungen in der Nebenrechnung ausrechnen und dann richtig zusammenwursteln. Probiert es
- mal für euch auf dem Blatt aus. Drückt kurz Pause. Am Ende steht das da 3x hoch 2* e hoch x + x hoo 3 + 5* e hoch x. Ein Fall haben
- wir noch. Was wenn da oben x mit einer Hochzahl oder sowas steht? Z.B. x hoch 3 + 7x². Kein Stress, kein Stress. Geht exakt wie
- vorhin. Zuerst wieder das e hoch x hoch 3 + 7x² hinschreiben und dann diesmal wirklich in der Nebenrechnung die Ableitung machen von dem, was im
- Exponent steht. Diesmal muss man da halt tatsächlich noch was schreiben. Wäre nämlich 3x hoch 2 + 14x. Tip top, das schreiben wir noch vor den
- E hochkrempel und fertig. Das ist die Ableitung davon. Apropos, geht das auch umgekehrt alles? Kann man das auch wieder aufleiten?
- Teilweise ja, wie ein Video, wie es für alle eh hoch irgendwelche X ohne Hochzeilah geht. Das haben wir schon. Der Rest, wie im letzten Beispiel, ist
- bisschen schwerer normalerweise, deswegen lassen wir das erstmal weg. Bis dahin müsst ihr euch nur merken, beim Ableiten den E-Hochtm stehen lassen und
- dann noch die innere Ableitung in der Nebenrechnung ausrechnen. Davors schreiben, fertig. So, schaut doch mal hier im nächsten Video vorbei. Da geht's
- um was, was ihr bestimmt genauso gut brauchen könnt, egal ob als Abi Vorbereitung, Wiederholung oder weil ihr es neu lernen wollt. Außerdem findet ihr
- hier noch unseren Twitterkanal. Da gibt's auf jeden Fall richtig geile Post. Also mal vorbeischauen. Wir sehen uns im nächsten Video. Bis gleich. Haut
- rein und ciao.
Zum Nachlesen
PotenzregelDie Potenzregel ist in der Mathematik eine der Grundregeln der Differentialrechnung. Sie dient der Ermittlung der Ableitung von Potenzfunktionen.
KettenregelDie Kettenregel ist eine grundlegende Ableitungsregel. Mit ihr wird die Ableitung einer Verkettung zweier differenzierbarer Funktionen berechnet.
ProduktregelMit ihr wird die Ableitung eines Produktes von Funktionen aus den Ableitungen der einzelnen Funktionen berechnet. In Lagrange-Notation lautet die …
FaktorregelDie Faktorregel folgt direkt aus der Definition der Ableitung, kann aber auch als Spezialfall der Produktregel aufgefasst werden.