Ableitung von e^x – Exponentialfunktion ableiten
Mathe - simpleclub
https://www.youtube.com/watch?v=FREVZ0ygT84

Transkript (automatisch erstellt)

0:00 Manchmal muss es scheinbar echt kompliziert sein. Man kann jede Zahl auch irgendwas rechnen, aber nee, warum nicht einfach trotzdem andauerndes doof
0:09 E nehmen? Geil, denkt ihr euch mal wieder pure Schikane vom Lehrer. Diesmal nicht. Warum die E-Funktion nämlich besonders ist, was die so nützlich
0:17 macht, zeigen wir euch. [Musik] Es hat was mit der Ableitung zu tun und nicht nur ein bisschen, sondern ziemlich
0:28 viel. Jo, warte, was war die Ableitung noch mal? Wenn ihr keinen Schimmer habt, schaut noch mal unser Video dazu. Die normale Funktion gibt euch ja einfach
0:38 die Höhe über der X-Achse an jeder Stelle an. Die Ableitung gibt die Steigung an der gleichen Stelle an. Bisher haben wir das mit xen mit
0:47 irgendwas als Hochzahl gemacht. Da war die einzige und leichte Regel Hochzahl vorziehen und oben die Hochzahl Grad -1. Kann es denn sein, dass es diesmal
0:57 vielleicht wieder so geht? Einfach Hochzahl vor und oben eins abziehen. Oh Gott, das wäre so geil. Nope, noch viel einfacher. What? Die Ableitung von e
1:09 hoch x, die ist wieder e hoch x. Genauso ist natürlich jede Zahl mal e hoch x auch abgeleitet wieder das gleiche, weil Vorfaktoren ja einfach stehen bleiben.
1:19 Geilo, das ist auch der Grund, warum die E-Funktion so oft benutzt wird. Jo, danke fürs Zuschauen, sagt den Gruß, haut rein und bla bla bla.
1:28 Okay, ganz so leicht kommt ihr uns nicht davon. Keine Panik, es tut überhaupt nicht weh. Was wir wissen wollen, wie geht's, wenn da oben nicht einfach nur
1:37 ein X steht, sondern z.B. 3x + 3. Dann brauchen wir noch was. Aber was genau? Dann machen wir das doch am besten mal an dem Beispiel. Zuerst schreiben wir
1:48 wieder den Term drin hin. Der bleibt nämlich echt immer genauso stehen, egal ob was oben um das X rumsteht oder nicht. Aber wir lassen mal noch bisschen
1:58 Platz davor, weil jetzt brauchen wir noch die innere Ableitung, denn wir nehmen hier die Kettenregel. Was das ist, könnt ihr euch am besten noch mal
2:06 im Video zu den drei Ableitungsregeln reinziehen. Wir gucken uns nämlich das, was oben beim E steht, genauer an, den
2:13 Exponenten. Also, wir nennen den Term, der da oben steht, einfach mal g von x. Ist ja auch sowas wie eine Funktion. Und die leiten wir jetzt nämlich ab und
2:23 schreiben von dem die Ableitung einfach vor. Was macht 3x + 3 abgeleitet? Das all Teil gibt abgeleitet einfach 3. Ja, und
2:32 die drei schreiben wir jetzt vor das ech 3x + 3. Tada, das ist unsere Ableitung. E hoch 3x + 3 gibt also abgeleitet 3e hoch 3x + 3.
2:44 Wir merken uns, lautet unsere Funktion f von x = e hoch irgendeine Funktion, dann kommen wir folgendermaßen auf die Ableitung. Der E-Term bleibt stehen, den
2:54 schreiben wir einfach ab und dann gucken wir uns das G von X an und leiten es ab. Nur damit wir nichts Wichtiges vergessen, machen wir das am besten in
3:02 der Nebenrechnung und schreiben das, was rauskommt, gerade vor die E-Funktion. TB. Am besten noch mal gleichen Beispiel dazu. Ja, wie sieht's denn mit e hoch 2x
3:12 + 5 aus? Zuerst wieder, der e-Term bleibt stehen. Also schon mal e hoch 2x + 5. Jetzt gucken wir uns das g von x an. Da stehen 2x + 5. Easy peasy. Die
3:24 Ableitung davon ist 2. Tip top, die schreiben wir davor. Und damit haben wir das Ding auch abgeleitet. Vorsichtig müsst ihr sein bei e hoch -x.
3:35 Da vergisst man nämlich schnell mal, dass das auch eine innere Ableitung hat. Sagen wir aus eigener schmerzlich Erfahrung, weil e hoch -x ist das
3:43 gleiche wie e hoch -1* x. Und wie litet man das ab? Genau. Erstmal e hoch - x wieder hinschreiben und dann die innere
3:52 Ableitung ausrechnen. Das wäre -1. Schreiben wir davor wieder. Die 1 kann man natürlich wieder weglassen. Die Ableitung von e hoch -x ist also - e
4:03 hoch -x. Ansonsten ist das e hoch x wie jede andere Funktion mit x. Bei Produkten müsst ihr z.B. die Produktregel machen.
4:12 So wie hier bei x hoch 3 + 5 x e hoch x. Zuerst die einzelnen Ableitungen in der Nebenrechnung ausrechnen und dann richtig zusammenwursteln. Probiert es
4:22 mal für euch auf dem Blatt aus. Drückt kurz Pause. Am Ende steht das da 3x hoch 2* e hoch x + x hoo 3 + 5* e hoch x. Ein Fall haben
4:36 wir noch. Was wenn da oben x mit einer Hochzahl oder sowas steht? Z.B. x hoch 3 + 7x². Kein Stress, kein Stress. Geht exakt wie
4:47 vorhin. Zuerst wieder das e hoch x hoch 3 + 7x² hinschreiben und dann diesmal wirklich in der Nebenrechnung die Ableitung machen von dem, was im
4:57 Exponent steht. Diesmal muss man da halt tatsächlich noch was schreiben. Wäre nämlich 3x hoch 2 + 14x. Tip top, das schreiben wir noch vor den
5:07 E hochkrempel und fertig. Das ist die Ableitung davon. Apropos, geht das auch umgekehrt alles? Kann man das auch wieder aufleiten?
5:15 Teilweise ja, wie ein Video, wie es für alle eh hoch irgendwelche X ohne Hochzeilah geht. Das haben wir schon. Der Rest, wie im letzten Beispiel, ist
5:23 bisschen schwerer normalerweise, deswegen lassen wir das erstmal weg. Bis dahin müsst ihr euch nur merken, beim Ableiten den E-Hochtm stehen lassen und
5:32 dann noch die innere Ableitung in der Nebenrechnung ausrechnen. Davors schreiben, fertig. So, schaut doch mal hier im nächsten Video vorbei. Da geht's
5:40 um was, was ihr bestimmt genauso gut brauchen könnt, egal ob als Abi Vorbereitung, Wiederholung oder weil ihr es neu lernen wollt. Außerdem findet ihr
5:48 hier noch unseren Twitterkanal. Da gibt's auf jeden Fall richtig geile Post. Also mal vorbeischauen. Wir sehen uns im nächsten Video. Bis gleich. Haut
5:55 rein und ciao.